遞迴到動規的一般轉化方法

遞迴函式有n個引數，就定義一個n維的陣列，陣列的下表是遞迴函式引數的取值範圍，陣列元素的值是遞迴函式的返回值，這樣就可以從邊界值開始，逐步填充陣列，相當於計算遞迴函式值的逆過程

動規解題的一般思路

1.將原問題分解為子問題

把原問題分解為若干個子問題，子問題和原問題形式相同或類似，只不過規模變小了。子問題都解決，原問題即解決（數字三角形為例）。
子問題的解一旦求出就會被儲存，所以每個子問題只需求解一次。

2.確定狀態

在用動態規劃解題時，我們往往將和子問題相關的哥哥變數的一組取值，稱之為一個“狀態”。一個“狀態”對應於一個或多個子問題，所謂某個“狀態”下的“值”，就是這個“狀態”所對應子問題的解。
所有“狀態”的集合，構成問題的“狀態空間”。“狀態空間”的大小，與用動態規劃解決問題的時間複雜度直接相關。在數字三角形的例子裡，一共有N*(N+1)個狀態。
整個問題的時間複雜度是狀態數目乘以計算每個狀態所需要的時間。
用動態規劃解題，經常碰到的情況是，k個整型變數能構成一個狀態（如數字三角形中的行號和列號這兩個變數構成“狀態”）如果這K個整型變數的取值範圍分別是N1,N2,...Nk，那麼，我們就可以用一個k維的陣列array[N1][N2]...[Nk]來儲存各個狀態的“值”。這個“值”未必就是一個整數或浮點數，可能是需要一個結構才能表示的，那麼arrry就可以是一個結構陣列。一個“狀態”下的“值”通常會是一個或多個子問題的解。
 

3.確定一些初始狀態（邊界狀態）的值

以數字三角形為例，初始狀態就是底邊數字，值就是底邊數字值。

4. 確定狀態轉移方程

定義出什麼是“狀態”，以及在該“狀態”下的“值”後，就要找出不同的狀態之間如何遷移——即如何從一個或多個“值”已知的“狀態”，求出另一個“狀態”的“值”（“人人為我”遞推型）。狀態的遷移可以用遞推公式表示，此遞推公式也可被稱作“狀態轉移方程”。

能用動規解決的問題的特點

1) 問題具有最優子結構性質。如果問題的最優解所包含的子問題的解也是最優的，那麼我就稱該問題具有最優子結構性質。
2）無後效性。當前的若干個狀態值一旦確定，則此後過程的演變就只和這若干個狀態的值有關，和之前是採取哪種手段或經過哪條路徑演變到當前的若干個狀態，沒有關係

中國大學mooc 程式設計與演算法（二） 北京大學 郭煒