法國的“3L”

1766年，尤拉和達朗貝爾（1717-1783）向普魯士國王腓特烈二世推薦了拉格朗日（1736-1813）。拿破崙當上法國皇帝后，大力扶助過法國的科學事業，數學家拉格朗日、拉普拉斯（1749-1827）都曾受過他的資助。在達朗貝爾的幫助下，拉普拉斯很快取得了巴黎軍事學校的數學教授職務。1783年，拉普拉斯作為軍事考試委員，考試過拿破崙，因此和拿破崙關係很熟。後來，拿破崙曾任命他擔任內政部長、議會議員和議會大臣，不過，拉普拉斯不是做官的材料，很快就被拿破崙免除了職務。拉普拉斯對純粹數學不感興趣，他愛好應用，關心用數學方法去研究科學問題。
拉普拉斯認為，數學是一種手段，是人們為解決科學問題而必須精通的一種工具。
勒讓德（1752-1833）也是軍事學校的數學教授。

柯西-尤拉方程或尤拉-柯西方程或尤拉方程，是一個有可變係數的線性齊次常微分方程。
n階的柯西-尤拉方程有如下形式：
x^ny^(n)(x)+a_(n-1)x^(n-1)y^(n-1)(x)+…+a_0y(x)=0。
最常見的柯西-尤拉方程是2階的，出現在大量的物理和工程應用中，例如用極座標解拉普拉斯方程。它由下列方程給出：
x^2y''+axy'+by=0。

柯西，最主要的貢獻在微積分、複變函式和微分方程等方面，幾何代數也有較大建樹，是數理彈性理論的奠基人之一。
柯西在常微分方程中的主要貢獻在於深入考察並證明了存在唯一性定理。其中主要定理為“柯西-利普希茨定理”，此定理最早由柯西於1820年發表，但直到1868年，才由魯道夫·利普希茨給出確定的形式。
對於偏微分方程，有柯西-利普希茨定理的擴充套件形式：柯西-科瓦列夫斯基定理，保證了偏微分方程的解的存在性和唯一性。

在年代學上，柯西確實是法國革命的一個產兒，他正好在巴士底監獄陷落後幾個星期的時候出生的。柯西的父親是一個古典派的學者、虔誠的天主教徒，甚至還是巴黎警察的官員。幸好在斷頭臺把許多人“砍去腦袋”之前，他父親有遠見地把他家從巴黎搬到鄉下。有幸的是，他們流落異鄉時的一個鄰居是數學家拉普拉斯（1749.3.23-1827.3.5），他對從小就表現出數學天才的年輕柯西非常感興趣。1800年，柯西的長輩恢復受寵的地位，他的家庭重新搬回到巴黎，在巴黎，柯西特別引起拉格朗日的注意。據說，拉格朗日勸說柯西的父親“應該趕快給柯西一種堅實的文學教育”，以便他的愛好不致把他引入歧途，並使他稱為一個“不知道怎樣寫自己的語言”的大數學家。顯然這個勸告被接受了，雖然柯西不久就通過土木工程學業的渠道而熱衷於數學。當拿破崙從易北河回來時，就決定改組法國科學院，並且開除卡諾和蒙日這兩個有軍事才幹的數學家。柯西被指定為蒙日（G.Monge

，1746-1818）在科學院的繼承人，這件事使傾向於把學術與政治分開的那些院士感到懊惱。1830年，法國七月革命爆發，法國波旁王朝（1589-1830年，兩度中斷）第三次被推翻。柯西被流放，他得到了報應。在整個這一時期及其後，柯西發表了大量的著作，證實自己是那個時代最偉大的數學家之一，同時也是最有影響的科學院院士之一。
柯西27歲即當選為法國科學院院士，還是英國皇家學會會員和幾乎所有外國科學院院士。
柯西有一句名言：“人總是要死的，但他們的業績應該永存。”
阿貝爾稱頌柯西“是當今懂得應該怎樣對待數學的人。”並指出：“每一個在數學研究中喜歡嚴密性的人都應該讀這本傑出的著作《分析教程》。”----17世紀牛頓-萊布尼茲的微積分發展為19世紀的數學分析
柯西在分析學上的三部專著：《分析教程》（1821），《無窮小計算教程》（1823），《微分計算教程》（1826-1828）。

柯西的第一個興趣涉及到級數。幾何級數1/2+1/4+1/8+1/16+……=1。柯西設計了確定各種級數收斂與發散的方法，因而為數學家提供了一套有價值的工具。
柯西最早證明了lim[n->∞](1+1/n)^n的收斂。--無理數e
給出了檢驗收斂性的重要判據——柯西準則。
柯西提出了級數收斂性的理論，拉普拉斯聽過後非常緊張，便急忙趕回家，閉門不出，直到對他的《天體力學》中所用到的每一項級數都核實過是收斂的以後，才鬆了一口氣。
達朗貝爾判別法也叫比值判別法，根值判別法也叫柯西判別法。
定理（柯西判別法）：對於正項級數∑[n=1->∞]U_n，如果存在正整數N，當n>N時，
（1）(U_n)^(1/n)<=r<1（r為正常數），則級數∑[n=1->∞]U_n收斂。
（2）(U_n)^(1/n)>=1，則級數∑[n=1->∞]U_n發散。
在複分析方面，柯西給出了複變函式的幾何概念，證明了在複數範圍內冪級數具有收斂圓，給出了含有復積分限的積分概念以及留數理論等。
柯西還是探討微分方程解的存在性問題的第一個數學家，他證明了微分方程在不包含奇的區域記憶體在著滿足給定條件的解，從而使微分方程的理論深化了。在研究微分方程的解法時，他成功地提出了特徵帶方法並發展了強函式方法。
柯西對置換理論作了系統的研究，並由此產生了有限群的（置換）表示理論。他還深入研究了行列式的理論，得到了賓內特（Binet）-柯西公式。他總結了多面體的理論，證明了費馬多邊形數猜想（1670-1813）等等。
數學思想五十問http://www.docin.com/p-356937185.html
問題19：柯西多邊形數定理（1813）如何證明？
首先我們回憶m+2(m>=1)邊形數的公式p_m(n)=n((m-2)n+(4-m))/2=(m+2-2)(n^2-n)/2+n。m=1,2時，定理就是高斯三角形數定理（1801）與拉格朗日四平方和定理（1770），因此下面只需證明m>=3的情形。
1813年，柯西證明了一般的多邊形數定理：每個正整數N都能表為m+2個m+2邊形數的和。而且這些和項中除4個之外其餘的都是0或1。

柯西發展了群論。正如他定義了微積分的極限那樣。從他的一些基本公設出發，人們建立了整個代數的結構，它一方面導致代數系統和凱雷、嘉當和Lie的工作；另一方面，它導致由布林及其後的羅素和懷特海所尋求的邏輯學中的代數包含關係。
群論中的柯西定理：如果素數p整除一有限群的階，則在群中存在p階元。刊載這些結果的論文發表於1845-1846年。

七月革命以後，查理十世（Charles Ⅹ）被逐，路易·腓利普（Louis Phillippee）稱帝，柯西拒絕宣誓效忠新皇帝，被革去職務，主動流放離開法國，接受都靈大學邀請任教的聘請。應他利用機會學習義大利語，並用義大利語講授全部課程。柯西於1838年回到法國。他一直保留著他在科學院的席位，因而他的同事歡迎他的歸來。柯西在晚年甚至比他早期更多產。十九世紀二十年代，儘管柯西的疏忽幾乎導致兩個卓越的年輕人阿貝爾和伽羅瓦一生中的災難，但是，他還是有抱負的青年數學家工作的一個公正鑑定人。

事實上柯西在巴黎科學院任院士期間，總是謹慎地審查交給他的每一篇文章，並坦率地寫出了他的評價。 他不輕易否定別人，即使別人的有些工作他早已做了，他還是予以承認的。柯西傳記的作者弗羅登太耳認為：“在柯西那個時代的所有數學家中，在引用別人的工作時，柯西是最小心的。”
1857年5月4日，柯西交出了他最後一篇論文的概述。1857年5月23日，柯西去世。
附錄一 柯西大事年表
1789年8月21日，生於巴黎1805年，就讀於巴黎多科工藝學校
1807年，就讀於巴黎道路橋樑工程學校
1810年至1813年，在瑟堡海港等地任建築工程師
1811年，開始數學研究
1813年，任多科工藝學校輔導教師
1814年，發表《關於定積分理論的報告》
1815年，開創行列式的系統研究；任多科工藝學校副教授
1816年，發表《關於波的傳播理論》獲巴黎科學院論文比賽一等獎；任多科工藝學校教授和巴黎科學院院士
1818年，與阿路莎·德·波萊結婚
1821年，發表《分析學教程》奠定微積分嚴密化的基礎
1823年，發表《無窮小分析教程》
1825年，發表關於複函式的重要論文《論上下限為虛數的定積分》
1826年，發表微分幾何方面的重要論文《幾何中無窮小演算的應用教程》
1829年，發表《微分計算教程》，進一步發展微分學理論體系
1830年至1838年，流亡於義大利、布拉格等地；先後任都靈大學教授、查理十世皇太子私人教師
1838年，回巴黎，恢復院士職位
1838年以後，進一步在分析、代數、微分方程、力學以及天文學等方面發表大量論著
1848年，兼任巴黎大學教授
1857年5月23日，卒於巴黎

http://www.docin.com/p-465335539.html
Cauchy’s Cours d’analyse
這是柯西那部劃時代的不朽名著《分析學教程》（1821）的英譯本，帶註釋，2009年8月由Springer出版的。
譯者前言
現代數學力爭嚴格。古希臘幾何學者有相似的目標，從無可爭議的假設出發使用完美的演繹邏輯證明出絕對的真理。
數學史上經常出現這樣的情況，新的數學誕生時，總是先有想法和應用，然後才考慮嚴格。在古代，美索不達米亞和埃及的實踐中的幾何發展成為古希臘的嚴格的幾何成就。微積分的發展也是如此。牛頓和萊布尼茲分別在1666年和十年後獨立地發現了或發明了微積分，但是它的嚴格的基礎沒有被建立，儘管在之後的150年以上的時間內有過幾次嘗試。
1821年，柯西出版了一本書《分析學教程》，作為他在高工講授分析的教材。這曾經是一本最有影響的數學書之一。柯西不僅提供了極限的可使用的定義，使得極限理論成為微積分嚴格化理論的基礎，而且他復甦了所有數學應當建立在嚴格的基礎上的想法。今天，嚴格性是判斷一本數學著作的質量的標準之一。這個標準主要地歸於柯西和他的分析學教程帶來的變化。
17世紀帶來了新的微積分，這個時代的科學家深信微積分的真理性，因為它在描述和預言自然世界的執行規律，特別是力學和行星運動等方面有著令人印象深刻的應用。微積分的建立之後，馬克勞林（1698-1746）和達朗貝爾（1717-1783）隨後稱之為宇宙哲學，它基於牛頓和萊布尼茲的直觀的幾何想法。他們同時代的某些人，特別是英格蘭的Bishop George Berkeley（1685-1753）和法國的Michel Rolle（1652-1719）認識到微積分的基礎這個問題。羅爾稱微積分是“精緻的謬論的集合”，伯克利嘲笑無窮小量，早期微積分的基本概念之一，是“已死量的幽靈”。伯克利和羅爾都坦率地承認微積分的實用性，但他們都質疑它缺乏嚴格的基礎。我們應當注意到，羅爾在巴黎科學院的同時最終使他信服改變了他的想法，但是伯克利一生都保持質疑。
在18世紀的稍後時期，僅有一些數學家嘗試從事由伯克利和羅爾提出的微積分基礎的問題研究。在這期間，發展了3種主要的派別：無窮小量，極限，級數的形式化代數。我們可以考慮英國的流數術和逐漸消失的量作為第4種派別或其它3種派別的先驅。尤拉（1707-1783）[尤拉1755]是無窮小量派別的最卓越的代表，儘管他在這方面的論文是他極廣泛的科學文集的極小的一部分。馬克勞林[馬克勞林1742]和達朗貝爾[達朗貝爾1754]支援極限派別。馬克勞林關於極限的觀點隱藏在他的《論流數術》一書中，在接下來的作品面前顯得黯然失色。達朗貝爾的著作被廣泛地閱讀，但是儘管在尤拉相反觀點的著作的幾乎同時出版，它們也沒有引發太多的對話。
我們懷疑微積分基礎最大的思想派別事實上是注重實效的派別——微積分已經工作地很好了，實在是沒有真實的動機去擔心它的基礎。
在法國革命歷的五月，歐洲的其它地方的1797年，拉格朗日（1736-1813）[拉格朗日1797]在他的《解析函式論》一書中回到了微積分的基礎問題（解析函式論包含了微分計算的原理，避免考慮無窮小量或消失的量、極限或流數術，歸納為有限量的代數分析）。這本書基於他在高工講授分析的講義。拉格朗日用冪級數展開式定義導數，勝於其他的方法。拉格朗日一直在修訂和再版這本書，它的第四版出現在1813年，拉格朗日去世之年。有意思的是，柯西的分析學教程和拉格朗日的解析函式論都不包含任何插圖。
在拉格朗日去世2年後，柯西成為了高工的分析學教授，開始講授拉格朗日講授過的同樣的課程。他繼承了拉格朗日的遺志建立微積分的基礎，但是他更多地是追隨馬克勞林和達朗貝爾而不是拉格朗日，以尋求極限形式的微積分基礎。多年以後，柯西出版了他的講義筆記。這本書通常叫做分析學教程，但是有些目錄和二手來源叫做代數分析。顯然，柯西打算寫第二部，但是他沒有機會完成它。出版後，高工改變了課程以降低對基礎的強調。柯西在1823年和1829年寫了兩本新書。
因為這本書在它出版僅一年後作為教科書就變得過時了，所以在19世紀，分析學教程僅有一個法文版本。第一版出版於1821年，有568頁。第二版以15卷（也被標識為系列2，卷Ⅲ）出版，出現在1897年。它的內容與1821年版本幾乎一樣，但是它的標記頁數完全不同，排版風格迥異，僅有468頁。第一版中的勘誤表在第二版中更正了，但引進了許多新的印刷錯誤。在20世紀後半葉，第一版至少有2個摹寫本出版，網路上已經有2個版本的數字版了。德文版在1828年和1885年出版，俄文版在1864年的萊比錫出版，西班牙語的譯本出現在1994年，目前的版本顯然是其它語言的第一個版本。
柯西沒有采用尤拉在1770年代引入的i=sqrt(-1)[無窮小分析引論，尤拉1748。事實上尤拉用i表示ln(-n),n是正數值，而不是表示虛數單位sqrt(-1)]，所以我們也寫作sqrt(-1)。
儘管柯西年僅32歲就出版《分析學教程》，年僅27歲就講授分析課程，但他已經是一位多才多藝的數學家了。這並不奇怪，在高工謀得一份教授職務並非易事。當然，到1821年，柯西已經出版了28本論文集，但《分析學教程》是他的第一本大部頭著作。
1811-1812年，柯西在數學上的第一個獨創性工作是關於多面體的幾何。Louis Poinsot（1777-1859）已經建立了三個新的非凸正多面體的存在性，在拉格朗日、勒讓德和Louis Malus（1775-1812）的鼓勵下，柯西研究了這個問題，擴充套件了Poinsot的結果，重新發現了尤拉正多面體公式V-E+F=2的一個推廣，並證明了柯西剛性定理：有剛性面的凸多面體必定是剛性的。這些結果是他最早的論文，兩本論文集的2/3[柯西1813]。儘管有這些早期的成果，但柯西很少回到幾何領域，這些是他在這個領域僅有的重要結果。
在柯西取得正面體問題方面的成果後，他的父親鼓勵他研究費馬的一個問題：證明每個整數是最多n個n-角數的和（n>=3）。1815年11月13日，他向法國科學院呈上了他的解答，並且出版了它[柯西1815]。Belhoste說這篇文章是柯西的成名之作，提出“他的證明的發表支援了幾天後高工對他教職的任命。”

數學及其歷史（英文版）http://www.docin.com/p-330413621.html
16.1複函式
當Bembelli（1572）引進複數時，他也隱含地引進了複函式。三次方程y^3=py+q的解y，y=(q/2+sqrt((q/2)^2-(p/3)^3))^(1/3)+ (q/2-sqrt((q/2)^2-(p/3)^3))^(1/3),當(q/2)^2<(p/3)^3)時，y包含一個複數的立方根。
這正是達朗貝爾在研究流體力學時發現的方程，但是被命名為柯西-黎曼方程，因為柯西和黎曼在複函式的研究中強調了方程的關鍵性角色。當柯西（1837）說明覆函式f(z)僅需要可微就能表示成z的冪級數時，複函式的概念固定下來了。
16.4橢圓函式的雙週期性
柯西定理提供的復積分觀點是理解例如w=Φ^(-1)(z)=∫[0,z]dt/sqrt(t(t-α)(t-β))的橢圓積分的一步，另外重要的一步是黎曼曲面的想法。函式1/sqrt(t(t-α)(t-β))是雙值的，拓撲上是一個環面。
Φ(w)= Φ(w+mw_1+nw_2)，對任意整數m，n。Φ是雙週期的，週期為w_1，w_2。
雙週期性的直觀解釋歸功於黎曼（1851），黎曼隨後（黎曼1858a）以黎曼曲面的觀點發展了橢圓函式理論。

[
內射injective就是指值域是目標域的一個真子集的函式
比如y:R->R，x^2
y的值域是{y|y>=0}，是R的真子集
]
摘錄自維基百科：
柯西矩陣是一個m*n矩陣，元素a_ij形如a_ij=1/(x_i-y_j); x_i-y_j≠0，1<=i<=m,1<=j<=n，這裡x_i和y_j都是域F中的元素，且(x_i)和(y_j)是內射序列（它們不包含重複的元素；元素是不同的）
希爾伯特矩陣是一種特殊的柯西矩陣，這裡x_i-y_j=i+j-1。
柯西矩陣的每個子矩陣也是柯西矩陣。
正方柯西矩陣A的行列式被稱為柯西行列式，它總是非零的，因此正方柯西矩陣總是可逆的。
Cauchy矩陣及其相關的插值問題http://www.docin.com/p-477307344.html
定義：給定複數z_1,z_2,…,z_n和w_1,w_2,…,w_n，這裡對1<=i,j<=n，z_i≠w_j，稱n階矩陣S=(1/( w_j-z_i))_(i,j=1->n)為相應資料的柯西矩陣。

柯西方程[不要和柯西函式方程混淆]是一個在一種特殊透明物質下，關於折射率n(λ)與光的波長λ的經驗關係。柯西在1836年定義了它。

柯西函式方程是方程f(x+y)=f(x)+f(y)。解叫做加性函式。
在代數中，加性函式（或加性對映）是一個保持加法運算的函式，即對於任何x,y都有性質f(x+y)=f(x)+f(y)的函式。例如線性對映是加性的。當域是實數域時，加性函式滿足的方程即柯西函式方程。
數論中的加性函式：對於正整數n的一個算術函式f(n)，當中f(1)=1且當a,b互質，f(ab)=f(a)+f(b)，在數論上就稱它為加性函式。若某算術函式f(n)就算a,b不互質，f(ab)=f(a)+f(b)，稱它為完全加性的。

楊寶珊：柯西《分析教程》中的無窮小http://www.doc88.com/p-676122209382.html 
摘要：
目的
考察和分析柯西《分析教程》中有關無窮小的若干問題。
方法
運用歷史分析的方法，採用非標準分析的觀點對原始文獻進行研究。
結果
推廣了非標準分析的奠基者Abraham Robinson關於柯西的某些歷史評論。
結論
如果允許考慮實無窮小和無窮整數，那麼，傳統認為的柯西在連續性上所犯的某些失誤就可以得到解釋。另外，柯西對無窮小的態度影響了他對完備性的立場。
18世紀的分析學家致力於創造有效的方法並把它們付諸應用，分析中的一些基本概念和基本原理並沒有得到嚴格處理，導致許多悖論和混亂。19世紀初，法國數學家柯西本著分析嚴格化的明確目標，寫出了一系列分析教程。
人們經常提到柯西關於連續性犯了某些錯誤或者表述得含混不清。例如，他在許多場合混淆了點態連續和一致連續。然而，1966年，Abraham Robinson在《非標準分析》中注意到，柯西一直在實無窮小的應用中和僅以實數為基礎的極限之間徘徊。Robinson指出，如果柯西在實際上容許他的變數取無窮小值，那麼，含混不清的地方就沒有了，而柯西也就沒有犯錯誤。另一方面，Robinson指出柯西關於連續函式序列之和仍是連續函式的結論不能用同樣的方法來辯護。但是，本文指出，當容許一個相當於等度連續的假定時，就可以解釋柯西關於這一命題的證明。最後，我們還推測到，柯西對無窮小的留戀可能影響了他對完備性的態度。
在本文中，一個無窮小被看成是一個實體x，這個實體x可以和實數（以及其他的無窮小及其倒數）比較大小，並且，對每一個正實數r，都有-r<x<r。零是（標準）實數中惟一的無窮小，並且是惟一沒有倒數的實數（通常把“無窮小”定義為使lim[x->0]f(x)=0的一個函式f(x)，這裡所指的不是這樣的無窮小）。
1連續性和無窮小
柯西對數學最傑出的貢獻之一就是他對函式的解析連續性（與幾何連續性相對）的定義和使用。
在1821年的《分析教程》的底第2章中，柯西關於連續的定義如下：“設f(x)是變數x的函式，且對於已給的兩個界限之間的每一個x值，該函式總是有一個惟一的有限值。如果從這兩個界限之間的x值著手，給變數x以一個無窮小增量α，那麼函式本身將增加一個差量f(x+α)-f(x)，這個差同時依賴於新變數α和原變數x的值。……”
2級數的連續性和無窮小
另外的一些模稜兩可的話或者所謂的錯誤，也可以根據是否允許使用無窮小來解釋。例如，在《分析教程》的第4章，柯西想證明連續函式的收斂級數的和必然是連續的，如果把這解釋為點態連續，則柯西就是錯誤的。阿貝爾就是這樣理解的。他在1826年舉出一個反例：
sinx-(1/2)sin(2x)+(1/3)sin(3x)…
3實數系的完備性和無窮小
在《分析教程》中，柯西為了證明一箇中值定理，使用了他的連續性的解析概念。他說，這種方法“有一個優點，就是提供了方程f(x)=0的一個數值解”。柯西的證明只缺少一個明確的、在今天看來是嚴格的完備性公理。?

誰創造了ε？柯西和微積分嚴格化的起源
美國數學月刊，1983年3月
學生：汽車時速50英里是什麼意思？
老師：對任意ε>0，存在δ，例如|t_2-t_1|<δ，使得|(s_2-2_1)/(t_2-t_1)-50|<ε。
學生：世界上有人想到過這樣的答案嗎？
或許這個交流提醒我們微積分的嚴格基礎一點都不直觀。當牛頓和萊布尼茲在17世紀晚期發明微積分時，他們沒有使用ε-δ證明。
ε-δ證明最先出現在柯西（1789-1857）的著作裡。這並不總是被公認的，因為柯西給了極限的一個純口頭上的定義。柯西也給f(x)的導數一個純口頭上的定義。牛頓、萊布尼茲、達朗貝爾、馬克勞林和尤拉已經有過像那樣的表述了。但柯西在他的證明中把這樣口頭上的表述翻譯為精確的不等式語言，這是重要的。


《微積分的歷程：從牛頓到勒貝格》http://www.docin.com/p-291823033.html
[美]威廉·鄧納姆（William Dunham）著，李伯民，汪軍，張懷勇譯
The Calculus Gallery-Masterpieces from Newton to Lebesgue
William Dunham
2005 Princeton University Press
第6章柯西
奧古斯丁·路易·柯西（A.-L.Cauchy，1789-1857）
傳記作家Eric Temple Bell有時是輕描淡寫地描繪數學家們的豐富多彩的人生的，在他的筆下，“柯西在現代數學中，扮演的角色沒有遠離舞臺的中央”。這個評價是個毋庸置疑的。奧古斯丁·路易·柯西在其一生中寫作了大量的書籍和論文，現在出版的選集已超過24卷，其中收集的是有關組合數學、代數、微分方程、複變函式、力學以及光學的論文。同一個世紀之前的萊昂哈德·尤拉一樣，奧古斯丁·路易·柯西對後世產生了長遠的影響。
本章對柯西的工作略作介紹。我們給出一些例子，涉及的範圍從極限理論到中值定理，從他的積分定義到微積分基本定理，最後以級數收斂的判別法結束。本章取材於他的兩本著名教科書：《皇家綜合工科學院分析教程》（1821）和《皇家綜合工科學院無窮小分析教程概論》。
極限、連續性和導數
雖然柯西承認拉格朗日是一位年高德劭的數學家，但是他並不贊同拉格朗日提出的基於級數的導數定義。柯西寫道：“我拒絕通過無窮級數進行函式展開的作法。”他接著指出：
我並不忽視著名的拉格朗日已經將這個公式作為他的導函式理論的基礎。儘管應對如此大的權威表示尊敬，但是多數幾何學家如今都承認如果使用發散級數可能導致不確定的結果……而我本人還要補充一句，拉格朗日方法可能產生一個由收斂級數表述的函式展開，不過這個級數的和根本不同於原來的函式。
後一種情況就是前一章中提到的柯西的反例。對他來說，拉格朗日的方案是一條死衚衕。柯西希望提供邏輯上正確的另外一種選擇，他斷言：“微分學的原理及其最重要的應用很容易不借助級數而建立起來。”
柯西認為，取代的辦法是把全部微積分建立在極限思想的基礎上。他關於這個概念的定義成為數學上的一個經典：
當屬於一個變數的相繼的值無限地趨近某個固定值時，如果最終同固定值之差可以隨意小，那麼這個固定值就稱所有這些值的極限。
柯西以圓面積作為例子：當一個圓的內接正多邊形的邊數無限增加時，多邊形面積的極限就是這個圓的面積。自然不會有哪個多邊形的面積等於圓的面積。但是，對於任意給定的容差，能夠找到一個內接正多邊形，它的面積以及那些邊數更多的正多邊形的面積比給定的容差更接近圓的面積。多邊形的面積持續地越來越接近圓的面積，這是柯西思想的精髓。
柯西引入的另一個相關概念或許會令使人產生疑慮。他寫道：“當一個變數的連續數值無限減小（從而變得小於任何給定的值）時，這個變數就稱為……一個無窮小的量。”他使用的“無窮小”這個詞令人感到不詳的預兆，但是我們可以把這個定義簡單地解釋為收斂到零。
柯西下一步將他的注意力轉移到連續性上。我們在直覺上的第一個反應是，柯西似乎將順序弄反了，應該將極限的思想建立在連續性上，而不是相反。但是柯西是對的。將這兩件事“顯而易見”的順序顛倒過來是理解連續函式的關鍵。

作為一個推論，他指出自然對數ln(x)的導數為(1/x)ln(e)=1/x。
顯然，微分學已經處於他的完全駕馭之下。 積分和微積分基本定理
同柯西的極限方法一樣，他的積分定義也將在整個微積分的發展歷史中掀起軒然大波。
我們回憶一下，當初萊布尼茲將積分定義為無限多個無窮小的被加數的和並用符號∫表示。看起來也許奇怪，直到19世紀初，還沒有人從這個角度來理解積分。相反，人們一直把積分主要看成微分的逆過程，使其在數學概念的殿堂中處於次要位置。例如，尤拉在他影響深遠的關於積分學的三卷教科書中是以下述定義開始的。
定義：積分學是從給定微分的變數尋找變數自身的方法,產生這種變數的運算稱為積分。
尤拉認為積分依賴於微分並且因此而從屬於微分。
柯西不同意這種觀點。他認為積分必須是獨立存在的，並且有相應的定義。因此，在19世紀即將消失的時候，他發起了一次變革，將積分置於分析學的聚光燈下。柯西繼承了約瑟夫·傅立葉（1768-1830）採用∫[x_0,X]f(x)dx作為所論及極限的“最簡單的”記號。
柯西的定義遠非完美，多半是因為它僅僅適用於連續函式。儘管如此，它仍然是具有重大意義的進展，使得在兩個關鍵問題上再無懸念：
（1）積分是一種極限，（2）積分的存在同反微分法無關。 為了保證不使人誤解，柯西將上式改寫成
(d/dx)∫[x_0,x]f(x)dx=f(x)----（6）
這正是微積分基本定理的“最初形式”。在式（6）中，微分和積分的反向性質躍然紙上。
對積分進行微分之後，柯西下一步說明如何對導數積分。他從一個他稱之為“問題”的簡單而重要的結果入手。
問題：如果ω是一個導數處處為零的函式，那麼ω是常值函式。
將積分上限改成X以後，柯西得到了他想要的結果：
∫[x_0,X]f(x)dx =F(X)-F(x_0)----(7)
柯西對微積分基本定理的證明（1823）----本人大約在大一時（2003年下半年）利用中值定理證明了牛頓-萊布尼茲公式
為了看出反向關係，我們僅需用F’(x)代替f(x)，並將式（7）寫成∫[x_0,X]F’(x)dx =F(X)-F(x_0)。基本定理的這種形式對導數進行積分，因此是對它先前形式的補充。
兩個收斂判別法
首先我們必須就柯西對無窮級數之和的定義說幾句話。早期的數學家們在計算特殊級數中具有令人驚異的智慧，在處理這些級數時往往從整體上把它們當作單個表示式，這種表示式的特性或多多少地同對應的有限項級數相似。對柯西來說，∑[k=0->∞]u_k的意義非常微妙。它需要有一個精確的定義，以便不但確定它的值，而且確定它是否確實存在。
柯西的方法如今是眾所周知的。他引入了部分和序列
S_1=u_0, S_2=u_0+u_1, S_3=u_0+u_1+u_2,一般形式為S_n=∑[k=0->n-1]u_k
然後把無窮級數的值定義為這個序列的極限，即∑[k=0->∞]u_k≡lim[n->∞]S_n= lim[n->∞] ∑[k=0->n-1]u_k，只要極限存在，而在這種情況下，“級數稱為收斂的，極限……稱為級數的和”。同柯西對導數和積分的處置一樣，他在極限的牢固基礎上建立了無窮級數理論。
我們現在考察柯西用於證實無窮級數收斂的兩個檢驗法。這兩個證明都是基於對非負項級數的比較檢驗法，這個檢驗法說明，如果對所有的k都有0<=a_k<=b_k，並且如果∑[k=0->∞]b_k收斂，那麼∑[k=0->∞]a_k也收斂。 柯西收斂準則（1821）：數列{a_n}收斂的充要條件是：對任給的ε>0，存在正整數N，使得當n,m>N時，有|a_n-a_m|<ε。
柯西收斂準則必要性的證明：
易知，{a_n}有極限時（設極限為a），{a_n}一定是一個柯西數列。
因為￥ε>0，存在正整數N，當n,m>N時，有|a_n-a|<ε/2，|a_m-a|<ε/2。
∴|a_n-a_m|<=|a_n-a|+|a_m-a|<ε，這就證明了{a_n}是一個柯西數列。
柯西收斂準則充分性的證明
第一，確界定理（非空有界數集必存在確界。）→柯西收斂準則。
{a_n}是柯西數列，則易證{a_n}是有界數列：
￥ε>0，存在正整數N>0，當n>N時，有|a_n-a_N|<ε/3，即|a_n|<=|a_N|+ε/3，取ε為固定值，則證得{a_n}有界。
拉普拉斯和尤拉（1777）、達朗貝爾（1752）的工作是複變函式論的前驅，也是我們當今研究的柯西積分的前驅。
1814年，柯西在論文《關於定積分理論的報告》中指出，柯西-黎曼方程是嚴格地並且直接建立由實到虛（復）過渡的橋樑，他說這兩個方程包含了由實到虛過渡的全部理論。
1825年，柯西又寫了《關於積分限為虛數的定積分的報告》的論文，他在這篇論文中，將∫[a,b]f(x)dx中的常數及變數用復值代替的方法，來計算積分的問題。----推廣實函式的定積分為複函式的定積分
這就是我們現在常常把複變函式的積分叫做柯西積分[1825]的來歷。
[
復積分的牛頓-萊布尼茲公式
如果函式f(z)在單連通區域D內處處解析，F(z)為f(z)的一個原函式，則∫[z_0,z_1]f(z)dz=F(z_1)-F(z_0)。這裡z_0，z_1為區域D內的兩點。
說明：當函式f(z)在單連通區域D內處處解析時，對於積分∫[z_0,z_1]f(z)dz 的計算類似於一元實函的定積分，可以採用關於一元實函的定積分的所有積分公式和積分方法。
練習：∫[0,i]zcoszdz=e^(-1)-1----使用分部積分法
∫[1,1+i]ze^zdz=ie(cos1+isin1)
----複分析教材和數學分析教材有很多重複的地方，應該濃縮成一本分析教材。
]
舉例說明：積分是否與路線有關，可能決定於被積函式的解析性及區域的連通性[區域是否是單連通區域]。
受此啟發，柯西於1825年給出如下定理：
1825年，柯西給出的積分定理是：如果f(z)在單連通區域D內解析，且f’(z)在D內連續[這一句是1851年黎曼證明的附加假設條件，1900年古薩證明免去了這一假設]，則f(z)沿著D內任一條閉曲線C的積分等於零：∮_Cf(z)dz=0。
柯西證明此定理時是否已經瞭解到格林1825年的工作（即眾所周知的格林公式），現在還沒有足夠的理由肯定這一點。
[
重要積分公式：
∮_C(1/(z-a)^n)dz=2pii,n=1;0,n≠1。
此結論非常重要，用起來很方便，因為C不必是圓，a也不必是圓的圓心，只要a在簡單閉曲線C內即可。
例子：計算積分∮_C((2z-1)/(z^2-z))dz=∮_C(1/z)dz+∮_C(1/(z-1))dz=2pii+2pii=4pii，C為包含圓周|z|=1在內的任何正向（逆時針）簡單閉曲線。被積函式在複平面有兩個奇點z=0和z=1，C也包含這兩個奇點。
複合閉路定理
（1）∮_Cf(z)dz=∑[k=1->n]∮_C_kf(z)dz，其中C及C_k均取逆時針方向；
即：複變函式沿多連通區域外邊界線逆時針方向的積分等於沿所有內邊界線逆時針方向的積分之和。
（2）∮_Γf(z)dz=0，多連通區域的柯西定理。這裡Γ由外邊界線C和內邊界線C_1^-，C_2^-，…，C_n^-組成的複合閉路，即Γ=C+C_1^-+C_2^-+…+C_n^-，其方向是：C沿逆時針方向，C_1^-，C_2^-，…，C_n^-沿順時針方向。
閉路變形原理
解析函式沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區域內作連續變形[說明：在變形過程中曲線不經過函式f(z)的不解析的點。]而改變它的值。
]
柯西將複變函式f(z)作為復變數z的一元函式來研究，他把解析函式定義為f’(z)在區域D存在並連續的函式。柯西及黎曼等人在關於積分定理的證明中，均假設f(z)的導數f’(z)連續。1900年，古莎（Goursat，1858.5.21-1936.11.25）發表新的證明方法，不需要將f(z)分為實部與虛部，更為重要的是免去了f’(z)為連續的假設，因此，f’(z)的連續不僅在柯西定理中可以省略，同時對解析函式的定義也象我們現在的複變函式課本這樣，即只須f’(z)在區域D記憶體在，不必假設f’(z)連續。
古莎對柯西積分定理的證明作了重要的修改，所以人們又把這個積分基本定理稱為柯西-古薩定理。
古莎證明了：若f’(z)在閉簡單圍線C上及其內部都存在，則柯西定理成立。
[
應用柯西-古薩定理應注意什麼？
（1）注意定理的條件“單連通區域內處處解析”。
反例：f(z)=1/z在多連通區域1/2<|z|<3/2內解析，單位圓|z|=1是該區域內一條閉曲線，但∮_|z|=1(1/z)dz=2pii≠0。
（2）注意定理不能反過來用。即不能由∮_Cf(z)dz=0，而說f(z)在C內處處解析。
反例：f(z)=|z|在單位圓|z|=1內處處不解析，但∮_|z|=1|z|dz=0。
]

梯度形式的柯西-黎曼方程：
設f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，u(x,y)，v(x,y)的柯西-黎曼方程等價於
(gradu,gradv)=0，且|gradu|=|gradv|。
復形式的柯西-黎曼方程：
f(z)在區域D內解析的充分必要條件是u(x,y)，v(x,y)在D內可微且滿足柯西-黎曼方程df/d~z=0。 線性代數中，兩個長方矩陣乘積若為正方矩陣，則乘積的行列式可以用柯西-比內公式（Cauchy-Binet formula，不是Binet-Cauchy identity）來計算。它將“兩個方塊矩陣或正方矩陣乘積的行列式等於它們行列式的乘積”這一定理推廣到長方矩陣或非方塊矩陣的情形。
例如：如果A={{1,1,2},{3,1,-1}}與B={{1,1},{3,1},{0,2}}，則柯西-比內公式給出行列式：
det(AB)=|{{1,1},{3,1}}|·|{{1,1},{3,1}}|+|{{1,2},{1,-1}}|·|{{3,1},{0,2}}|+|{{1,2},{3,-1}}|·|{{1,1},{0,2}}|=-28
雅克·比內（Jacques Philippe Marie Binet，1786.2.2-1856.5.12）
法國數學家、物理學家、天文學家
生於雷恩，卒於巴黎。
1806年，畢業於巴黎綜合理工學院，1807年，回校任教。1843年，入選巴黎科學院。
對數論和矩陣代數的基礎作出了重大貢獻。
1812年，他第一個描述了矩陣乘法的運算規則。
比內的斐波那契數公式：
斐波那契數列用迴圈公式定義：u_n=u_(n-1)+u_(n-2),n>1。
這裡，u_0=0,u_1=1,u_n=((1+sqrt(5))^n-(1-sqrt(5))^n)/(2^nsqrt(5)) 柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式
Cauchy-Schwarz Inequality或Cauch-Buniakowsky-Schwarz Inequality證法有很多，講兩種比較常見的：
1、構造二次函式，轉根的判別式證
2、構造二重積分，輪換，相加，用二重積分性質證
定積分的柯西不等式fx乘以gx a到b的積分 的平方 小於等於 fx的平方a到b的積分 乘以 gx的平方 a到b的積分
（離散和形式的）Cauchy不等式的形式化寫法就是：記兩列數分別是a_i, b_i，則有 (∑a_i^2)*(∑b_i^2) ≥ (∑a_i *b_i)^2。我們令f(x)=∑(a_i+x*b_i)^2=(∑b_i^2)*x^2+2*(∑a_i*b_i)*x+(∑a_i^2)，則我們知道恆有f(x)≥0。用二次函式無實根或只有一個實根的條件，就有Δ=4*(∑a_i*b_i)^2-4*(∑a_i^2) *(∑b_i^2)≤0。移項得到結論。
The inequality for sums was published by Augustin-Louis Cauchy (1821), while the corresponding inequality for integrals was first stated by Viktor Bunyakovsky (1859) and rediscovered by Hermann Amandus Schwarz (1888).
俄羅斯帝國烏克蘭數學家布尼亞科夫斯基（Viktor Yakovlevich Bunyakovsky，1804.12.16（俄歷12.4）-1889.12.12（俄歷11.30）），彼得堡科學院成員和副院長。
He worked in theoretical mechanics and number theory (see: Bunyakovsky conjecture), and is credited with an early discovery of the Cauchy-Schwarz inequality, proving it for the infinite dimensional case in 1859, many years prior to Hermann Schwarz's works on the subject.
柯西中值定理是比拉格朗日定理更一般的中值定理。
柯西中值定理：設函式f(x),g(x)在區間[a,b]上滿足：
（Ⅰ）f(x),g(x)在閉區間[a,b]上連續；----連續
（Ⅱ）f(x),g(x)在開區間(a,b)上可導；----導數
（Ⅲ）f’^2(x)+g’^2(x)>0；
（Ⅳ）g(a)≠g(b)。
則在開區間(a,b)內必定（至少）存在一點ξ，使得f’(ξ)/ g’(ξ)=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))。 幾何意義
首先將函式f(x),g(x)視為以x為引數的方程u=g(x),v=f(x)。
它在O-uv平面上表示一段曲線。
由拉格朗日定理的幾何意義，存在一點（對應於引數ξ）的導數(dv/du)|(x=ξ)恰好等於曲線端點弦AB的斜率：
k_AB=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))。
A(g(a),f(a)),B(g(b),f(b)),P(g(ξ),f(ξ))。 在極限的四則運算中，往往遇到分子，分母均為無窮小量（無窮大量）的表示式。這種表示式的極限比較複雜，各種結果均會發生。我們將這類極限統稱為不定式極限。現在我們將用柯西中值定理來研究這類極限，這種方法統稱為洛必達法則。
1.0/0型不定式極限
定理：若函式f和g滿足：
（Ⅰ）lim[x->x_0]f(x)= lim[x->x_0]g(x)=0；
（Ⅱ）在點x_0的某空心鄰域U^0(x_0)內兩者均可導，且g’(x)=0；
（Ⅲ）lim[x->x_0]f’(x)/g’(x)=A（A可以為實數，±∞，∞）。
則lim[x->x_0]f(x)/g(x)=lim[x->x_0]f’(x)/g’(x)=A。
2.∞/∞型不定式極限
定理：若函式f和g滿足：
（Ⅰ）lim[x->x_0^+]f(x)= lim[x->x_0^+]g(x)=∞；
（Ⅱ）在點x_0的某右鄰域U^0_+(x_0)內兩者均可導，且g’(x)=0；
（Ⅲ）lim[x->x_0]f’(x)/g’(x)=A（A可以為實數，±∞，∞）。
則lim[x->x_0^+]f(x)/g(x)=lim[x->x_0^+]f’(x)/g’(x)=A。
3.其他型別的不定式極限
不定式極限還有0·∞，1^∞，0^0，∞^0，∞±∞等型別，它們一般均可化為0/0型或者∞/∞型。 反常積分（improper integral）的柯西主值（Cauchy principal value）即是對反常積分（improper integral）的特殊取極限的方法。
對反常積分（improper integral）取極限的方法不唯一，取的方法不同，值也不一樣。
求1/x在-1到1上的積分
1/x在[-1,1]上遇到奇點0，於是需要以0為界，分段積分。
反常積分∫[-1,1](1/x)dx在柯西主值意義下收斂，或稱反常積分∫[-1,1](1/x)dx的柯西主值為ln|1|-ln|-1|=0，即p.v.∫[-1,1](1/x)dx=0。

阿貝爾（Niels Henrik Abel，1802-1829）特別希望見到高斯、柯西和多科工藝學校的數學團體。然而，他所受到的接待距他所期望的很遠。首先，他把論五次方程的手稿呈送給高斯。高斯甚至連看都沒有看就把它扔在一邊，叫喊：“又是一個怪物！”阿貝爾把他向科學院宣讀大的論超越函式的手稿呈現給柯西。柯西和年老的勒讓德宣佈：這份手稿是不值一讀的！幸虧阿貝爾找到了另一條渠道，才使得他的工作聞名於世。阿貝爾死於肺結核的同年，雅可比認識到阿貝爾關於超越函式工作的價值，而且促使柯西去尋找遺失的手稿。1841年，阿貝爾死後的12年後，阿貝爾的手稿終於發表了。

伽羅瓦是一個忠誠的共和主義者。他沒有能參加1830年的七月革命，那時他和他的同學被鎖在學校裡，他寫了一封信，嚴厲地譴責校長。結果他被開除出學校了。雖然他只生活了21年，而且他的全集也只佔60頁紙，但是，有兩個主要數學領域是以他的名字命名的，即伽羅瓦虛數和伽羅瓦方程論。----伽羅瓦域GF(q)=有限域F_q，伽羅瓦理論（群/伽羅瓦群/可解群/阿貝爾群/迴圈群，域擴張/伽羅瓦擴張/可解擴張/阿貝爾擴張/迴圈擴張）

阿達瑪從早期起就致力於把柯西在分析上的區域性理論推廣到全域性。在復域裡，他的博士論文“泰勒展式所定義的函式的研究”（1892）首次把集合論引進複函式理論，更簡單地重證了有關收斂半徑的結果，並用自然而精密的方法探索奇點在收斂圓上的位置及性質，從而使在收斂圓外的解析延拓（如果可能的話）顯得更切實可行。這些都是從已給泰勒級數的係數所形成的集合入手的，從而得到了一系列重要結果。以收斂圓為割線、缺項級數定理、極奇性定理、奇性結合定理、有限差距和奇點的階等概念，至今仍是函式論的基本內容。他和他的學生芒代爾布羅伊合著的《泰勒級數及其解析延拓》（1926）則已成為經典。他沿著這個新途徑研究函式的極大模得到了著名的三圓定理（解析函式在同心圓上的極大模式同心圓半徑的凸函式），他把這些一般結果應用到研討整函式的泰勒級數的極大模的衰減和這個函式的虧格間的關係，完善了龐加萊的結果，並因此獲得了1892年法國科學院大獎。憑藉這些及其博士論文中的許多結果，他證明了黎曼ζ函式的虧格為零，對黎曼猜想作出了重大突破；又證明了素數定理（即lim[n->∞]π(n)logn/n=1），這裡π(n)表示不大於n的素數的個數），從而建立了解析數論的基礎。
1896年，哈達瑪與比利時數學家普森彼此獨立地取得了黎曼猜想問世37年後的第一個階段性成果，黎曼ζ函式的非平凡零點只分布在那個帶狀區域的內部，而不包括邊界。它直接導致了素數定理的證明。
1914年，丹麥數學家玻爾與德國數學家蘭道取得了另一階段性成果，那就是證明了黎曼ζ函式的非平凡零點傾向於“緊密團結”在臨界線的周圍。這個結果用數學語言來說，就是包含臨界線的無論多麼窄的帶狀區域都包含了黎曼ζ函式的幾乎所有的非平凡零點。
1914年，另一階段性成果出現了，哈代證明了黎曼ζ函式有無窮多個非平凡零點位於臨界線上。
1921年，哈代與李特伍德合作，對自己7年前那個結果中的“無窮”做出了具體估計，百分比為百分之零。
1942年，挪威數學家賽爾伯格終於證明了這個百分比大於零。不過賽爾伯格雖然證明了那個百分比大於零，卻並沒有在論文中給出具體數值。
1974年，年過花甲的美國數學家列文森（Norman Levinson）證明了至少有34%的零點位於臨界線上。次年去世。
1980年，中國數學家樓世拓與姚琦證明了至少有35%的零點位於臨界線上。
1989年，美國數學家康瑞（Brian Conrey）證明了至少有40%的零點位於臨界線上。這也是這方面——並且也是整個黎曼猜想研究中——目前最強的結果。

1831年，法國的柯西發現解析函式的冪級數收斂定理。
複分析中描述冪級數收斂半徑的柯西-阿達馬定理，柯西在1821年發表了它，阿達瑪重新發現了它。
阿達瑪在1888年第一次發表了這個結果，並作為1892年博士論文中的一部分。
單復變理論中定理的表述和證明：
f(z)=∑[n=0->∞]c_n(z-a)^n。
上式中a,c_n∈C，則該級數收斂半徑R由下式給出：
1/R=limsup[n->∞](|c_n|^(1/n))，其中 sup 為集合的最小上界。
多復變理論中定理的表述和證明：
哈達瑪矩陣
定義：一個n*n的{1,-1}-矩陣H滿足HH^T=nI，則稱H為n階哈達瑪矩陣。
例：H={{1,1},{1,-1}}，H^T={{1,1},{1,-1}}，則HH^T={{2,0},{0,2}}，則H為一個哈達瑪矩陣。
定理：如果n階哈達瑪矩陣存在，則其n=1,2或4k。
定理：如果m階和n階的哈達瑪矩陣均存在，則mn階的哈達瑪矩陣必存在。

1931年，熊慶來啟程赴歐考察，並準備代表中國第一次除夕1932年在瑞士蘇黎世召開的國際數學會的會議。他又來到闊別十年的巴黎，來到著名的龐加萊數學研究所工作。在他之前，法國數學家波萊爾（E.Borel，1871-1956）曾經提出過有窮級整函式理論，熊慶來決心在波萊爾工作的基礎上將結果推廣到無窮級的情形。
1933年，熊慶來寫出了題為《關於整函式與無窮級的亞純函式》的論文。
他的這個理論被歐洲的數學家譽為熊氏無窮級理論，熊慶來也因此被授予法國國家理科博士學位。1937年抗戰前夕，熊慶來離開清華大話，回到闊別十六年的故鄉，出任雲南大學校長。1949年6月，全國解放前夕，正值熊慶來赴巴黎參加聯合國教科文組織第四屆大會，雲南大學卻被宣佈解散。1950年春天，他突然因為腦溢血病倒了，他在法國的朋友阿達瑪（Hadamard，1865-1963）、當儒瓦（Denjoy）、蒙代爾（Montel）和在美國的學生陳省身、林家翹，還有許多法國朋友為他的治療而奔走。1957年6月，熊慶來回到了闊別八年的祖國。他在北京定居下來，擔任中國科學院數學研究所研究員，負責函式論研究室。1963年熊慶來已是70高齡了，他又錄取了楊樂、張廣厚兩個北大數學系的畢業生為研究生，知道他們進行函式論的研究。

1920年，在美國康奈爾大學畢業返國的姜立夫，單槍匹馬地去天津南開創辦數學系。在此後中國各地開始興辦高等數學教育事業。熊慶來和段子燮在南京辦東南大學（1921）。黃際遇和陳建功在1924年辦武昌大學數學系。胡明覆合胡敦覆在上海辦大同大學，陳建功和蘇步青先後到浙江大學工作，培育了一代人才。熊慶來於1926年在清華創辦算學系，後又設立清華大學數學研究院，招收研究生。

20世紀20年代，以清華、北大、南開、浙大、大同等校為基礎的中國近代數學事業，終於辦起來了。

姜立夫（1890-1978），名蔣佐，字立夫，浙江省溫州市平陽縣人。1918年在美國哈佛大學攻讀數學獲得博士學位。1919年南開大學城裡，次年初，姜立夫就到南開大學任教，他和邱宗嶽，饒毓泰、楊石先等一起成為南開大學理學院的奠基人。陳省身說過，那時南開大學數學系是“一人系”。