• 支援向量機Support Vector Machine SVM
  • 間隔直覺
  • 符號
  • 函式間隔以及幾何間隔
  • 最優間隔分類器
  • 拉格朗日對偶
  • 最優間隔分類器
  • 核Kernels
  • 規則化以及不可分情況
  • SMO演算法
    • 座標上升法
    • SMO演算法

支援向量機（Support Vector Machine ，SVM ）

SVMs通常被認為是最好的現成的學習演算法。在敘述SVM之前我們先討論一下邊界和通過一個很大的間隙將資料進行分隔。接下來，我們討論一下最優化間隔分類器，這將讓我們看到拉格朗日對偶。同時我們將學習到核(kernels),核將讓SVM能在高維特徵空間更加有效，最後我們將介紹一下SMO演算法。

間隔：直覺

這節我們將對邊界給出一個直觀的感受以及預測結果的置信度。考慮邏輯迴歸通過 hθ(x)=g(θTx)

$h_{\theta }(x)=g({\theta }^{T}x)$$h_\theta(x)=g(\theta^Tx)$建模得到概率$p(y=1|x;\theta)$.當且僅當$h_\theta(x)\ge0.5$時也就是當$\theta^Tx \ge0$時，一個輸入$x$的預測結果為”1”。對於一個正例訓練資料$(y=1)$，$\theta^Tx$越大$h_\theta(x)=p(y=1|x;w,b)$也越大，同時訓練樣本標籤為“1”的可信度也越大。因此，我們可以大致認為當$\theta^Tx>>0$時，$y=1$的置信度是很高的。相反，當$\theta^Tx<<0$時，我們認為$y=0$的置信度是很高的。對於一個給定的訓練集，我們將會得到這個訓練資料的一個很好的擬合，若我們可以找到$\theta$使得對於所有的樣本$y^{(i)}=1$有$\theta^Tx^{(i)}>>0$以及對於所有的$y^{(i)}=0$有$\theta^Tx^{(i)}<<0$。這看起來是一個很不錯的目標，接下來我們將其表示為邊界函式的形式。
對於另外一個直觀的感受，考慮一下下面的圖。圖中”x”表示正訓練樣本，”o”表示負訓練樣本。決策邊界由方程$\theta^Tx=0$決定，也叫做超平面。以及給出了A,B,C三個點。我們可以看到對於一個未知點，它離決策線越遠，那我們更有信心給出它的預測結果。

符號

為了更方便的對SVMs進行討論，我們先介紹一些符號。我們先考慮一個對特徵為$x$，標籤為$y$的二值分類問題進行分類的線性分類器。從現在起，$y\in\{-1,1\}$而不是$\{0,1\}$來表示類別的標籤。同樣，我們的線性分類器的引數現在也不是$\theta$而是$w,b$線性分類的可以寫為：
$h_{w,b}(x)=g(w^Tx+b)$
這裡,當$z\ge0$時$g(z)=1$，$z<0$時，$g(z)=-1$。以及引數$b$就相當於之前的$\theta_0$,引數$w$就相當於$[\theta_1,\cdots,\theta_n]^T$.
注意，從上面定義的函式$g$，分類器的預測結果將直接給出1或-1（與感知器演算法一致）。而不是先經過中間步驟估計$y=1$時的概率。

函式間隔以及幾何間隔

對於一個給定的訓練集$(x^{(i)},y^{(i)})$,我們定義函式間隔為：

γ^

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