單調佇列

定義

有一個佇列(雙端佇列)， 佇列中的元素滿足下面四種狀態的任何一種都為單調佇列:

• 單調遞增 (如 1 2 3 5 9)
• 單調不減 (如 1 2 3 3 5)
• 單調遞減 (如 9 5 3 2 1)
• 單調不增 (如 5 3 3 2 1)

性質

 (以單增佇列為例)
 插入時，需要將尾部大於此數的全部出隊。
 刪除時，根據需要使隊首或者隊尾的元素出隊(所以要用雙端佇列)。
 每時每刻隊首元素都代表著當前區間範圍內的最小值。
 單調佇列維護元素值的同時也要維護元素的下標，以便知道每個元素和整個區間的關係。

實現

int
 
 q[maxn], p[maxn], ft, rr;
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    while(rr > ft && q[rr-1] >= a[i]) --rr;
    q[rr++] = a[i], p[rr-1] = i;
    //if(p[ft]<k) ++ft;
}

應用

 個人對單調佇列有以下幾點感覺：
 單調佇列多用於區間問題，而且大多數是區間長度或者其他的有限制的問題。
 單調佇列的研究物件一般是某個元素，而非某個區間(個人感覺)， 個人感覺要維護的基本上是某個元素的一些相關屬性。
 有幾個題目作為例子:

 另外單調佇列還有一個大用處就是優化一種形式的dp, 由於我還沒有研究到dp，這裡就先放一放，列一下知識點和一個題目感受一下。

(以下言論來自百度百科， 不可全信)
做動態規劃時常常會見到形如這樣的轉移方程：

f[x] = max or min { g(k) | b[x] <= k < x } + w[x]

其中b[x]隨x單調不降，即b[1]<=b[2]<=b[3]<=…<=b[n]
(g[k]表示一個和k或f[k]有關的函式，w[x]表示一個和x有關的函式)

 這個方程怎樣求解呢？我們注意到這樣一個性質：如果存在兩個數j, k，使得j <= k，而且g(k) <= g(j)，則決策j是毫無用處的。因為根據b[x]單調的特性，如果j可以作為合法決策，那麼k一定可以作為合法決策，並且k是一個比j要優的決策。因為k比j要優，（注意：在這個經典模型中，“優”是絕對的，是與當前正在計算的狀態無關的），所以，如果把待決策表中的決策按照k排序的話，則g(k)必然是不降的。在此例中決策表即f[x].
這樣，就引導我們使用一個單調佇列來維護決策表。對於每一個狀態f(x)來說，計算過程分為以下幾步：

1、 隊首元素出隊，直到隊首元素在給定的範圍中。
2、 此時，隊首元素就是狀態f(x)的最優決策，
3、 計算g(x)，並將其插入到單調佇列的尾部，同時維持佇列的單調性（不斷地出隊，直到佇列單調為止）。

 重複上述步驟直到所有的函式值均被計算出來。不難看出這樣的演算法均攤時間複雜度是O(1)的。因此求解f(x)的時間複雜度從O(n^2)降到了O(n)。
 單調佇列指一個佇列中的所有的數符合單調性（單調增或單調減），在資訊學競賽的一些題目上應用，會減少時間複雜度.
 可以參考下面這道題理解

單調棧

定義

 個人感覺這個棧和佇列是差不多的，其實單調棧只要在單調佇列的基礎上，關掉佇列的一個端點不就行了， 只能在一端操作就是棧了，所以在實際的編碼中單調棧和單調佇列是差不多的(還是個人感覺)。

性質

 同單調佇列

實現

 同單調佇列

應用

目前我做到的四道題都只是用來求一個問題的:
就是在一個數組中， 求一個元素和它向左向右不比它小的元素所能組成的最大的區間，就是它最遠能擴充套件到的地方，這應該是單調棧最簡單的應用了(還沒做到難的)。

另外還有三道題和這題差不多，我這裡給出題目連結， 讀者可作為練習實驗下。