本帖最後由 hunter_wwq 於 2013-7-24 14:04 編輯

開此貼是貼出自己在學如題所示知識點時所做的筆記，旨在跟我一樣菜的小朋友們共同學習探討一下這方面的知識，當然，絕對絕對歡迎大牛們來指點指教一下！！！

這是筆記附件：
 

下面也貼出筆記的內容，圖片和格式之類的我就不意義複製貼上過來了，太麻煩了，等下次把這塊知識都弄完了後再把格式改一下！
        任務
        瞭解矩陣相關的基礎知識
        掌握矩陣在3D中的具體應用
        清楚矩陣和逆矩陣各自的應用
        在osg中是如何進行矩陣運算的
1.        http://www.360doc.com/content/11/0906/15/7317486_146206322.shtml
2.        概念：方陣的行列式
>行列式與矩陣變換導致的尺寸改變相關，其中行列式的絕對值與面積（2D）、體積（3D）的改變相關，行列式的符號說明了變換矩陣是否包含映象或投影。
>矩陣的行列式還能對矩陣所代表的變換進行分類。如果矩陣的行列式為0，那麼該矩陣包含投影。如果矩陣的行列式為負，那麼該矩陣包含映象。

有關矩陣的行列式的概念：
>方陣M的行列式記作|M|或“det M”，非方陣矩陣的行列式是未定義的。
非方陣矩陣即行列長度不等的矩陣。
計算矩陣行列式的方法：
>將主對角線和反對角線上的元素各自相乘，然後用主對角線元素的積減去反對角線元素的積。
例：2X2階矩陣行列式的定義：

2X2階矩陣行列式計算示意圖：

3X3階矩陣行列式的定義：

3X3階矩陣行列式計算示意圖：

行列式的一些重要性之如下：

3.        概念：逆矩陣

矩陣求逆運算只能用於方陣。
並非所有的矩陣都有逆。
>方陣M的逆，記作M-1，也是一個矩陣。當M與M-1相乘時，結果是單位矩陣。
>奇異矩陣的行列式為0，非奇異矩陣的行列式不為0，所以檢測行列式的值是判斷 矩陣是否可逆的有效方法。
>對於任意可逆矩陣M，當且僅當v=0時，vM=0。
逆矩陣的重要性質如下：

>矩陣的逆在幾何上非常有用，因為它使得我們可以計算變換的”反向“或”相反“變換 ---- 能”撤銷“原變換的變換。所以，如果向量v用矩陣M來進行變換，接著用M的逆M-1進行變換，將會得到原向量。這很容易通過代數方法驗證：

逆矩陣可撤銷之前所做的變換。
4.        概念：餘子式、代數餘子式、標準伴隨矩陣
>餘子式是一個矩陣，而代數餘子式是一個標量。
>假設矩陣M有r行c列，記法M{ij}表示從M中除去第i行和第j列後剩下的矩陣。顯然，該矩陣有r-1行，c-1列，矩陣M{ij}稱作M的餘子式。
>對方陣M，給定行、列元素的代數餘子式等於相應餘子式的有符號行列式。
>從矩陣中任意選擇一行或一列，對該行或列中的每個元素，都乘以對應的代數餘子式。這些乘積的和就是矩陣的行列式。例如，任意選擇一行，如行i，行列式的計算過程如公式9.4所示：

例，重寫3X3矩陣的行列式：

>M的”標準伴隨矩陣“記作”adjM“，定義為M的代數餘子式矩陣的轉置矩陣。
例3X3階矩陣：

計算M的代數餘子式矩陣：

M的標準伴隨矩陣是M的待述餘子式矩陣的轉置：

>一旦有了標準伴隨矩陣，通過除以M的行列式，就能計算矩陣的逆。
>其表示如公式9.7所示：

5.        概念：正交矩陣

>正交矩陣對我們非常有用，因為很容易計算它的逆矩陣。
>很多情況下，我們可以提前知道矩陣是如何建立的，甚至瞭解矩陣是僅包含旋轉、映象呢，還是二者皆有（記住：旋轉和映象矩陣是正交的）。
>根據定義，當且僅當 M MT = I 時M是正交的。
>（1）當且僅當一個向量是單位向量時，它與自身的點積結果是1。
>（2）當且僅當兩個向量是互相垂直時，它們的點積為0。
>所以，若一個矩陣是正交的，它必須滿足下列條件：矩陣的每一行都是單位向量，矩陣的所有行互相垂直。
>如果M是正交的，則MT也是正交的。
當矩陣M為正交矩陣時，則該矩陣的逆矩陣為M的轉置矩陣。

矩陣正交化：
>構造一組正交基向量（矩陣的行）的標準演算法是施密特正交化。它的基本思想是，對每一行，從中減去它平行於已處理過的行的部分，最後得到垂直向量。
例，以3x3矩陣為例，和以前一樣，用r1、r2、r3代表3x3階矩陣M的行。正交向量組r1'、r2'、r3'的計算如公式9.9所示：

>現在r1'、r2'、r3'互相垂直了，它們是一組正交基。當然，它們不一定是單位向量。構造正交矩陣需要使用標準正交基，所以必須標準化這些向量。注意，如果一開始就進行標準化，而不是在第2步中做，就能避免所有除法了。
6.        概念：4D齊次空間
4D座標的基本思想:
>實際的3D點被認為是在4D中w=1"平面"上。4D點的形式為(x, y, z, w)，將4D點投影到這個"平面"上得到相應的實際3D點（x/w, y/w, z/w）。w=0時4D點表示"無限遠點"，它描述了一個方向而不是一個位置。
>在4D中，仍然可以用矩陣乘法來表達平移，如公式9.10所示，而在3D中是不可能的：

>記住，即使是在4D中，矩陣乘法仍然是線性變換。矩陣乘法不能表達4D中的"平移"，4D零向量也將總是被變換成零向量。這個技巧之所以能在3D中 平移點是因為我們實際上是在切變4D空間。與實際3D空間相對應的4D中的"平面"並沒有穿過4D中的原點。因此，我們能通過切變4D空間來實現3D中的 平移。

#Q: 何為線性變換？

#Q: 位置矩陣P和轉換矩陣T的區別在哪？
#A: 對模型位置做變換，一定是P後乘T。
位置矩陣P:  
轉換矩陣T:  
轉換矩陣的最後一列一定為 
平移轉換矩陣的模板為： 
故對於轉換矩陣T，上邊3X3部分是旋轉/縮放部分，最下一行是平移部分。逆向利用這些資訊，能將任意4X4矩陣分解為線性變換部分和平移部分。將平移向量 記做t，將上邊3X3部分記做RS，則T可簡寫為：


>當一個形如[x, y, z, 0]的無窮遠點乘以一個包含旋轉、縮放等的變換矩陣，將會發生預期的變換。結果仍是一個無窮遠點，形式為[x, y, z, 0]。

一個無窮遠的點經過包含平移的變換後得到：

其結果和沒有平移的變換結果是一樣的！
>換句話說，4D向量中的w分量能夠"開關" 4x4 矩陣的平移部分。這個現象是非常有用的，因為有些向量代表“位置”，應當平移，而有些向量代表“方向”，如表面的法向量，不應該平移。從幾何意義上說，能將第一類資料當作"點"，第二類資料當作"向量"。
>使用4x4矩陣的一個原因是4x4變換矩陣能包含平移。當我們僅為這個目的使用4x4矩陣時，矩陣的最後一列總是[0, 0, 0, 1]T。
7.        概念：一般仿射矩陣
通過4X4矩陣我們可以構造包含平移在內的一般仿射矩陣。例如：

8.        概念：透視投影
>正交投影也稱作平行投影，因為投影線都是平行的（投影線是指從原空間中的點到投影點的連線）。
>3D中的透視投影仍然是投影到2D平面上，但是投影線不再平行，實際上，它們相交於一點，該點稱作投影中心。
如圖所示：

>因為投影中心在投影平面前面，投影線到達平面之前已經相交，所以投影平面上的影象是翻轉的。當物體遠離投影中心時，正交投影仍保持不變，但透視投影變小了。
9.        概念已經理得差不多了，現在來做osg中的矩陣變換
大概有以下幾個概念需要理一下：
1)        矩陣與逆矩陣之間的互換
2)        矩陣與逆矩陣在三維中的應用
3)        有關旋轉\平移\縮放矩陣
4)        投影矩陣
10.        首先看osg::Matrix類
1)        平移相關方法

1.                 // 獲得平移的向量
   
2. inline Vec3d getTrans() const;
   
3. // 將矩陣置為一個平移矩陣
   
4. void makeTranslate( const Vec3d& v );
   
5. // 生成一個平移矩陣，靜態函式
   
6. inline static osg::Matrix translate( const Vec3d& v );
   
7. // 前乘/後乘平移矩陣
   
8. inline void preMultTranslate( const Vec3d& v );
   
9. inline void postMultTranslate( const Vec3d& v );
   
10. // 設定現有矩陣中的平移向量，即[3][0],[3][1],[3][2]
    
11. void setTrans( const Vec3d& v );
    
12. // 從現有矩陣中分離出平移向量，旋轉向量及縮放向量
    
13. void decompose( osg::Vec3f& translation,
    
14. osg::Quat& rotation,
    
15. osg::Vec3f& scale,
    
16. osg::Quat& so ) const;
    

複製程式碼 2)        透視投影的平截頭體相關方法

1. // 採用平截體設定來建立一個透視投影矩陣
   
2. inline static Matrixd frustum(double left,   double right,
   
3.                                       double bottom, double top,
   
4.                                       double zNear,  double zFar);
   
5. // 獲取透視投影矩陣的平截體設定
   
6. bool getFrustum(double& left,   double& right,
   
7.                         double& bottom, double& top,
   
8.                         double& zNear,  double& zFar) const;
   

複製程式碼 3)        透視投影相關方法

1. // 獲取透視投影矩陣的相關引數
   
2. bool getPerspective(double& fovy,  double& aspectRatio,
   
3.                             double& zNear, double& zFar) const;
   
4. // 將矩陣置為透視投影矩陣
   
5. void makePerspective(double fovy,  double aspectRatio,
   
6.                              double zNear, double zFar);
   
7. // 生成透視投影矩陣，為靜態方法
   
8. inline static Matrixd perspective(double fovy,  double aspectRatio, double zNear, double zFar);
   

複製程式碼 4)        正交投影相關方法

1. // 獲得正交投影的相關引數
   
2. bool getOrtho(double& left,   double& right,
   
3.                       double& bottom, double& top,
   
4.                       double& zNear,  double& zFar) const;
   
5. // 將矩陣置為正交投影矩陣
   
6. void makeOrtho(double left,   double right,
   
7.                        double bottom, double top,
   
8.                        double zNear,  double zFar);
   
9. /** Set to a 2D orthographic projection.
   
10. * See glOrtho2D for further details.
    
11. */
    
12. inline void makeOrtho2D(double left,   double right,
    
13.                                 double bottom, double top)
    
14. // 生成一個正交投影矩陣
    
15. inline static Matrixd ortho(double left,   double right,
    
16.                                     double bottom, double top,
    
17.                                     double zNear,  double zFar);
    

複製程式碼 5)        視點視向相關方法

1. // 獲取模型觀察矩陣的位置和方位
   
2. void getLookAt(Vec3f& eye,Vec3f& center,Vec3f& up,
   
3.                        value_type lookDistance=1.0f) const;
   
4. // 生成一個模型觀察矩陣，用作設定相機
   
5. // #Q: 模型觀察矩陣如何用在相機上？相機有什麼方法來接受模型試圖矩陣？
   
6. #A: osg::Camera類提供了設定觀察矩陣的方法，setViewMatrix
   
7. inline static Matrixd lookAt(const Vec3d& eye,
   
8.                                      const Vec3d& center,
   
9.                                      const Vec3d& up);
   
10. // 將矩陣置為模型觀察矩陣
    
11. void makeLookAt(const Vec3d& eye,const Vec3d& center,const Vec3d& up);
    

複製程式碼 6)        除轉換相關及以上相關外的其他方法

1. // 生成一個單位矩陣
   
2. inline static Matrixd identity( void );
   
3. // 求逆矩陣
   
4. inline static Matrixd inverse( const Matrixd& matrix);
   
5. // 將矩陣置為引數矩陣的逆矩陣
   
6. inline bool invert( const Matrixd& rhs);
   
7. // 判斷是否是單位矩陣
   
8. bool isIdentity() const;
   
9. // 將矩陣置為單位矩陣
   
10. void makeIdentity();
    
11. // 矩陣乘法
    
12. void mult( const Matrixd&, const Matrixd& );
    
13. void preMult( const Matrixd& );
    
14. void postMult( const Matrixd& );
    
15. // operator function
    
16. ……
    

複製程式碼 7)        #Q: 有多少東西是可以用矩陣來表示的？還有什麼東西是不能用矩陣來表示的？
#A: 正交投影、透視投影、模型觀察均可用矩陣來表示；
8)        #Q: 矩陣都用在了什麼地方？
看osg::Camera類
11.        看osg::Camera類
1)        跟矩陣相關的方法

1. // 將本地矩陣轉換為世界矩陣，此方法可過載
   
2. virtual bool computeLocalToWorldMatrix(Matrix& matrix,NodeVisitor*) const;
   
3. // 將世界矩陣轉換為本地矩陣，此方法可過載
   
4. virtual bool computeWorldToLocalMatrix(Matrix& matrix,NodeVisitor*) const;
   
5. // 取得投影矩陣，可對其進行修改
   
6. osg::Matrixd& getProjectionMatrix();
   
7. // 取得投影矩陣
   
8. const osg::Matrixd& getProjectionMatrix() const;
   
9. // 取得投影矩陣的正交投影引數
   
10. bool getProjectionMatrixAsOrtho(double& left, double& right, double& bottom, double& top, double& zNear, double& zFar) const;
    
11. // 取得投影矩陣的平面截體引數
    
12. bool getProjectionMatrixAsFrustum(double& left, double& right, double& bottom, double& top, double& zNear, double& zFar) const;
    
13. // 取得投影矩陣的透視投影引數
    
14. bool getProjectionMatrixAsPerspective(double& fovy,double& aspectRatio, double& zNear, double& zFar) const;
    
15. // 設定投影矩陣
    
16. inline void setProjectionMatrix(const osg::Matrixd& matrix);
    
17. // 以平面截體引數設定投影矩陣
    
18. void setProjectionMatrixAsFrustum(double left, double right, double bottom, double top, double zNear, double zFar);
    
19. // 以透視投影引數設定投影矩陣
    
20. void setProjectionMatrixAsPerspective(double fovy,double aspectRatio, double zNear, double zFar);
    
21. // 取得模型觀察矩陣，可對模型觀察矩陣進行修改
    
22. osg::Matrixd& getViewMatrix();
    
23. // 取得模型觀察矩陣
    
24. const osg::Matrixd& getViewMatrix() const;
    
25. // 獲取模型觀察矩陣的逆矩陣
    
26. Matrixd getInverseViewMatrix() const;
    
27. // 以eye,center,up方式設定模型觀察矩陣
    
28. void setViewMatrixAsLookAt(const osg::Vec3d& eye,const osg::Vec3d& center,const osg::Vec3d& up);
    
29. // 以eye,center,up方式取得模型觀察引數
    
30. void getViewMatrixAsLookAt(osg::Vec3d& eye,osg::Vec3d& center,osg::Vec3d& up,double lookDistance=1.0) const;
    
31. // 設定模型觀察矩陣
    
32. inline void setViewMatrix(const osg::Matrixd& matrix);
    

複製程式碼 由上可知相機中可設定投影矩陣引數和模型觀察矩陣引數。
#Q: 那在相機中這兩個引數的作用是什麼呢？
#A: 在osg::Camera類中這兩個引數的定義如下：

1. osg::Matrixd _projectionMatrix;
   
2. osg::Matrixd _viewMatrix;
   

複製程式碼 在場景視景器中有一個預設的主屬相機，osgViewer::Viewer中。
相機預設帶有投影矩陣和模型觀察矩陣這兩個引數。
#Q: 那麼由誰來操作這個相機呢？
看一下相機操作器類osgGA::CameraManipulator
12.        看osgGA::CameraManipulator類
1)        跟操作相機相關的方法有：

1. /** update the camera for the current frame, typically called by the viewer classes. 
   
2. Default implementation simply set the camera view matrix. */
   
3. virtual void updateCamera(osg::Camera& camera) { camera.setViewMatrix(getInverseMatrix()); }
   

複製程式碼 此類唯一直接操作相機的方法就是updateCamera，設定模型觀察矩陣。
可見相機操作器類是通過模型觀察矩陣來操作相機的。
接下來看一下此類中有哪些方法跟模型觀察矩陣有關。。。
2)        跟模型觀察矩陣有關的方法並沒有直接見到，從#1)中看到方法updateCamera中有呼叫getInverseMatrix方法，但是在osgGA::CameraManipulator中getInverseMatrix和getMatrix方法均為純虛擬方法：

1. /** get the position of the manipulator as 4x4 Matrix.*/
   
2. virtual osg::Matrixd getMatrix() const = 0;
   
3. /** get the position of the manipulator as a inverse matrix of the manipulator, typically used as a model view matrix.*/
   
4. virtual osg::Matrixd getInverseMatrix() const = 0;
   

複製程式碼 如此上兩方法的註釋可知，均為獲取操作器的位置，並以4X4矩陣來表示。而方法getInverseMatrix一般用作模型觀察矩陣。
#Q: 為什麼純虛擬方法可以被呼叫？如updateCamera方法所示。
猜測：在osgGA::CameraManipulator中跟模型觀察矩陣相關的引數有：

1. osg::Vec3d        _homeEye;
   
2. osg::Vec3d        _homeCenter;
   
3. osg::Vec3d        _homeUp;
   

複製程式碼 先看著三個引數在哪些方法中被用到。
三個引數預設賦值為：

1. _homeEye.set(0.0,-1.0,0.0);
   
2. _homeCenter.set(0.0,0.0,0.0);
   
3. _homeUp.set(0.0,0.0,1.0);
   

複製程式碼 這三個引數都跟home這個關鍵字有關，那麼跟home相關的其他都有：

1. /** Compute the home position.
   
2. 這個計算會考慮相機的視區的大小和模型的尺寸，把相機挪到足夠遠的位置來使得模型在整個螢幕的區域；如果引數camer為空，則相機到場景區的距離就無法計算，此時將基於模型的尺寸採用一個預設的值
   
3. #Q: 但是計算好的值並沒有去改變相機的一些屬性，而是改變的_homeEye, _homeCenter, _homeUp，那麼它是如何做到使相機的位置移動到足夠遠呢？
   
4. #A: 具體的如何去影響估計還是要靠setByMatrix,setByInverseMatrix和getMatrix,getByInverseMatrix方法，因為最終還是要歸到updateCamera方法上對camera的設定。
   
5. */
   
6. virtual void computeHomePosition(const osg::Camera *camera = NULL, bool useBoundingBox = false);
   
7. /** Get the manually set home position. */
   
8. virtual void getHomePosition(osg::Vec3d& eye, osg::Vec3d& center, osg::Vec3d& up) const
   
9. {
   
10. eye = _homeEye;
    
11. center = _homeCenter;
    
12. up = _homeUp;
    
13. }
    
14. /**
    
15. Move the camera to the default position.
    
16. May be ignored by manipulators if home functionality is not appropriate.
    
17. */
    
18. virtual void home(const GUIEventAdapter& ,GUIActionAdapter&) {}
    
19. /**
    
20. Move the camera to the default position.
    
21. This version does not require GUIEventAdapter and GUIActionAdapter so may be
    
22. called from somewhere other than a handle() method in GUIEventHandler.  Application
    
23. must be aware of implications.
    
24. */
    
25. virtual void home(double /*currentTime*/) {}
    
26. /** Manually set the home position, and set the automatic compute of home position. */
    
27. virtual void setHomePosition(const osg::Vec3d& eye, const osg::Vec3d& center, const osg::Vec3d& up, bool autoComputeHomePosition=false)
    
28. {
    
29. setAutoComputeHomePosition(autoComputeHomePosition);
    
30. _homeEye = eye;
    
31. _homeCenter = center;
    
32. }
    

複製程式碼 #Q: _homeCenter, _homeEye, _homeUp具體起到一個什麼作用？
#A: 這個也是用來輔助getInverseMatrix方法用的，具體怎麼用，還是要靠自己來定義。
#TODO(continue): 可自定義一個漫遊器來測試一下。
路徑漫遊下的相機控制：
http://www.52vr.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=23815
osg操縱器解析：
>重寫getMartix()，和getInverseMatrix()方法
http://lzchenheng.blog.163.com/b ... 353620106710534514/
>要編寫一個好的操縱器，必須首先過載setNode()和home()方法，根據根節點的包圍球，確定視點的初始位置，然後，根據視點的初始位置和使用者的操作(移動、旋轉等操作），過載getInverseMatrix()和getMatrix()方法，構建觀察矩陣或物體的位置姿態矩陣，這兩個矩陣互為逆矩陣。