矩陣的數學基礎知識
一 行列式 方陣 矩陣的基本概念
略
二 矩陣的轉置、逆、秩
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矩陣的轉置就是將矩陣中的元素進行行列對換
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矩陣的逆
設A是數域上的一個n階矩陣，若在相同數域上存在另一個n階矩陣B，使得： AB=BA=E ，則我們稱B是A的逆矩陣，而A則被稱為可逆矩陣。注：E為單位矩陣。
如何求矩陣的逆：1 初等變換法
2 伴隨矩陣法 -
矩陣的秩
矩陣的秩是由向量組的秩引申而來
設A是一組向量，定義A的極大無關組中向量的個數為A的秩。通常表示為r(A)，或rank A。
一些重要結論 -
由定義直接可得n階可逆矩陣的秩為n，通常又將可逆矩陣稱為滿秩矩陣, det(A)≠0；不滿秩矩陣就是奇異矩陣，det(A)=0。
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矩陣的行秩，列秩，秩都相等。
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初等變換不改變矩陣的秩。
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矩陣的乘積的秩Rab<=min{Ra,Rb}。
三 矩陣的對稱性、正交性
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矩陣的對稱性：對稱矩陣（Symmetric Matrices）是指元素以主對角線為對稱軸對應相等的矩陣。
即滿足的AT=A的矩陣。 -
矩陣的正交性：如果AAT=E（E為單位矩陣，AT表示“矩陣A的轉置矩陣”）或ATA=E，則n階實矩陣A稱為正交矩陣。
由矩陣的逆和正交性可知 如果一個矩陣是正交矩陣，則 AT = A-1.
四 矩陣變換與線性變換與線性對映
矩陣變換是線性變換
線性變換是線性對映
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五 矩陣的特徵值、特徵向量
- 矩陣的特徵值和特徵向量
如果一個非零向量v是方陣A的特徵向量，將一定可以表示成下面形式，而λ是特徵向量v對應的特徵值：
- 如何求矩陣的特徵值和特徵向量？
https://blog.csdn.net/Yolandera/article/details/83993828 - 特徵值和特徵向量的物理含義？
https://www.matongxue.com/madocs/228.html
顧名思義，特徵值和特徵向量表達了一個線性變換的特徵。在物理意義上，一個高維空間的線性變換可以想象是在對一個向量在各個方向上進行了不同程度的變換，而特徵向量之間是線性無關的，它們對應了最主要的變換方向，同時特徵值表達了相應的變換程度。
具體的說，求特徵向量，就是把矩陣A所代表的空間進行正交分解，使得A的向量集合可以表示為每個向量a在各個特徵向量上的投影長度。我們通常求特徵值和特徵向量即為求出這個矩陣能使哪些向量只發生拉伸，而方向不發生變化，觀察其發生拉伸的程度。這樣做的意義在於，看清一個矩陣在哪些方面能產生最大的分散度（scatter），減少重疊，意味著更多的資訊被保留下來。
六 矩陣相似和對角化
- 對角化矩陣的概念
可對角化矩陣是線性代數和矩陣論中重要的一類矩陣。如果一個方塊矩陣 A 相似於對角矩陣，也就是說，如果存在一個可逆矩陣 P 使得 P−1AP 是對角矩陣，則它就被稱為可對角化的。 - 對角化矩陣的好處
它們的特徵值和特徵向量是已知的，並通過簡單的提升對角元素到同樣的冪來把一個矩陣提升為它的冪。 - 矩陣可對角化的條件？
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七 矩陣分解