自適應濾波：LMS/NLMS
前言
西蒙.赫金的《自適應濾波器原理》第四版第五、六章：最小均方自適應濾波器（LMS，Least Mean Square）以及歸一化最小均方自適應濾波器（NLMS，Normalized Least Mean Square）。全文包括：
1）LMS與維納濾波器（Wiener Filter）的區別；
2）LMS原理及推導；
3）NLMS推導；
4）應用例項；
內容為自己的讀書記錄，其中錯誤之處，還請各位幫忙指出！
一、LMS與維納濾波器（Wiener Filter）的區別
- 這裡介紹的LMS/NLMS，通常逐點處理，對應思路是：隨機梯度下降；
- 對於Wiener Filter，給定準則函式J，隨機/批量梯度都可以得出最優解；
- LMS雖然基於梯度下降，但準則僅僅是統計意義且通常引入誤差，可以定義為
- 分析LMS通常會分析穩定性，穩定性是基於Wiener解，之前已給出分析。但LMS是Wiener解的近似，所以：迭代步長的穩定性，嚴格適用於Wiener解，對於LMS只是一種近似參考，並沒有充分的理論依據。
下文的分析仍然隨機梯度下降的思路進行。
二、LMS原理及推導
LMS是時間換空間的應用，如果迭代步長過大，仍然有不收斂的問題；如果迭代步長過小，對於不平穩訊號，還沒有實現尋優就又引入了新的誤差，屋漏偏逢連夜雨！所以LMS系統是脆弱的，訊號儘量平穩、哪怕短時平穩也湊合呢。
給出框圖：
關於隨機梯度下降，可以參考之前的文章。這裡直接給出定義式：
利用梯度下降：
給出LMS演算法步驟：
1）給定
w(0)，且 1<μ<1/λmax； 2）計算輸出值：
y(k)=w(k)Tx(k); 3）計算估計誤差：
e(k)=d(k)−y(k); 4）權重更新：
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