一 動態規劃

動態規劃問題是面試題中的熱門話題，如果要求一個問題的最優解（通常是最大值或者最小值），而且該問題能夠分解成若干個子問題，並且小問題之間也存在重疊的子問題，則考慮採用動態規劃。

使用動態規劃特徵：
1. 求一個問題的最優解
2. 大問題可以分解為子問題，子問題還有重疊的更小的子問題
3. 整體問題最優解取決於子問題的最優解（狀態轉移方程）
4. 從上往下分析問題，從下往上解決問題
5. 討論底層的邊界問題

例項1
剪繩子問題
給你一根長度為N的繩子，請把繩子剪成M段（m,n都是整數），每段繩子的
長度記為k[0],k[1],k[2]…. 請問如何剪繩子使得k[0],k[1],k[2]
的乘積最大
例如 繩子長度8 最大乘積18 = 2*3*3

def jianshengzi(n):
    # 先對邊界問題進行求解，因為明顯剪的值小於不剪的值
    # 則提出先討論這三種情況
    if n < 2:
        return 0
    if n == 2:
        return 1    #長度為2，只能剪成1*1
    if n == 3:
        return 2    #長度為3，剪成2*1 > 1*1*1

    #若繩子長於４呢,申請一個長度為50的陣列
    #羅列出切割的邊界問題

    h = [0]*50
    h[0] = 0
    h[1] = 1
    h[2
 
] = 2
    h[3] = 3
    # 遞迴問題是 f(n) = max{f(i)*f(n-i)}
    for i in range(4,n+1):
        maxs = 0
        for j in range(1,i/2+1):
            mult = h[j] * h[i-j]
            if maxs < mult:
                maxs = mult
            h[i] = maxs     # 每次J的迭代輪詢出該長度的最大值
    print h
    return h[n]

print
 
 jianshengzi(8)

例項2
硬幣問題
我們有面值為1元3元5元的硬幣若干枚，如何用最少的硬幣湊夠11元？
分析：
1 求問題的最優解：最小的硬幣數
2 是否有子問題：f(n)表示的最少硬幣數是是上一次拿時候的硬幣數最少。
注意：f(n)是n元的最小硬幣數，最後一次可拿的硬幣數為1,3,5 則下一步
的最小硬幣數為 f(n-vi) 它的狀態變更不是按元數的，是按照上次拿的硬幣錢目
3 狀態轉移方程為 f(n)= min(f(n-vi)+1)
4 邊界問題(找到最後一個重複的問題) 這裡
f(1)=1 ,f(2)=f(1)+f(1)=2 f(3)=min(1,f(2)+1)
f(4)=f(3)+1 f(5)=1
5 從上往下分析問題，從下往上解決問題。

def f(n):
    if n == 1:      #把所有的邊界問題找到
        return 1
    if n == 2:
        return 2
    if n == 3:
        return 1
    if n == 4:
        return 2
    if n == 5:
        return 1

    h = [1,3,5]
    minx = n
    for i in range(3):
        coun = f(n-h[i])+1    # 採用了遞迴的思想 這裡是從上到下，
        if minx > coun:       # 複雜度比較高
            minx = coun
    return minx

print f(11)

def f(n):
    if n == 1:
        return 1
    if n == 2:
        return 2
    if n == 3:
        return 1
    if n == 4:
        return 2
    if n == 5:
        return 1

    h = [1,3,5]
    for x in range(6,n+1):     #從下往上的思維解決
        minx = n
        for i in range(3):      
            coun = f(x-h[i])+1   #從下往上的思維解決 
            if minx > coun:
                minx = coun
    return minx
print f(11)