一.Lyndon串的定義.

對於兩個串s1與s2，令 $n=\mathrm{\mid }s1\mathrm{\mid },m=$

∣ s 2 ∣ , x = m i n ( n , m ) n=|s1|,m=|s2|,x=min(n,m) ， $s1=$

s 2 s1=s2 僅當 $n=m$且 $s1[1..n]=s2[1..m]$， $s1<s2$僅當 $s1[1..x]<s2[1..x]$，或 $s1[1..x]=s2[1..x]$且 $n<m$.

一個字串s為Lyndon串僅當s在它的所有後綴中最小.


二.Lyndon串的一個性質.

性質1：當u,v為Lyndon串且u<v時，uv（u與v相連線）也為Lyndon串.

證明如下：
首先顯然uv大於任意一個u的字尾與v連線.
然後因為 $u&lt;v&lt;v[i..|v|]$，所以 $uv&lt;v[i..|v|]$.
綜上所述，uv小於所有它的字尾，即uv為一個Lyndon串.
證畢.


三.Lyndon word問題.

Lyndon word問題是指，將一個字串s分解成 $\ s_1s_2...s_k$，其中 $\ \forall s_i$為Lyndon串， $s_i\geq s_{i+1}$，求拆分方案.

這個問題首先具有存在性，證明：
首先當一個串只有一個字元時，顯然這個串為一個Lyndon串.
當一個串S不是Lyndon串時，它顯然可以被分成 $|S|$個單個字元組成的字串合併的形式.
根據性質1，這些串中只要有 $s_i&lt;s_{i+1}$的情況，就可以被合併成一個新的Lyndon串.
證畢.

這個問題也具有唯一性，用反證法證明如下：
設若有兩種方案，設兩種方案不同的位置為 $s_i$，兩種方案分別為 $s_i$與 $s&#x27;_i$，且 $|s_i|&gt;|s&#x27;_i|$.
我們令 $s_i=s&#x27;_is&#x27;_{i+1}...s&#x27;_{k&#x27;}s&#x27;_{k&#x27;+1}[1..j]$，其中 $s&#x27;_{k&#x27;+1}[1..j]$表示 $s&#x27;_{k&#x27;+1}$的一個字首.
根據定義， $s_i&lt;s&#x27;_{k+1}[1..j]\leq s&#x27;_{k+1}\leq s&#x27;_i&lt;s_i$.
證畢.


四.Duval演算法.

Duval演算法是用來線上性求解拆分方式的一種演算法，它需要用到下面這個性質2：
當字串s與字元c組成的字串sc是某個Lyndon串的字首時，對於字元 $d&gt;c$滿足sd為Lyndon串.

證明如下：
首先顯然對於一個Lyndon串的字首s $s\leq s[i..|s|+1]$，即s小於等於它的所有後綴.
所以s與sc必然都滿足小於等於它們的所有後綴，加入一個大於c的字元自然也就變成了Lyndon串.
證畢.

那麼我們就可以開始講解Duval演算法了，Duval演算法只需要維護三個指標i,j,k就可以求出一個串的Lyndon分解.

首先，i表示當前未確定拆分的第一個點，即 $s[1..i-1]$已經被確定了拆分方式.

然後，我們設 $s[i..k-1]=t_1t_2..t_hv$，其中 $t_1=t_2=...=t_h$都是Lyndon串，v必須是一個 $t_i$

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