Meaning

• 一個長度為 $n$ 的序列，每個位置可以被染成 $[1,m$
  ] [1,m] 中的任一顏色
• 求所有 $m^n$ 種染色方案的最長連續同色子段長度之和
• 答案對 $p$
  p 取模
• $1\le n\le300000$
• $2\le m\le10^8$
• $0.99\times10^9\le p\le1.01\times10^9$
• $p$ 為質數
• 時限 2s
• 空限 1G

Solution - Step 1

• 神仙 zzq 的題思路果然非常巧妙
• 我們知道，對於值域為非負整數的函式 $f(S)$ ，有
• $\sum_Sf(S)=\sum_{i\ge1}\sum_S[f(S)\ge i]$
• 回到問題。直覺告訴我們，這是與最值有關的計數問題
• 所以根據上面的式子進行轉化可以簡化問題
• $ans=\sum_Sf(S)=\sum_{i\ge1}\sum_S[f(S)\ge i]$
• 其中 $S$ 表示一種染色方案， $f(S)$ 表示染色方案 $S$ 的最長連續同色子段長度
• 容易得出 $\sum_S[f[S]\ge i]$ 表示最長連續同色子段長度 $\ge i$ 的方案數
• 「最大值 $\ge i$ 」還是不好處理，考慮補集轉化一下
• $\sum_S[f(S)\ge i]=m^n-\sum_S[f(S)<i]$
• 於是
• $ans=nm^n\sum_{i=1}^n\sum_S[f(S)<i]=nm^n-\sum_{i=0}^{n-1}\sum_S[f(S)\le i]$
• 發現 $\sum_S[f[S]\le i]$ 實際上就是把長度為 $n$ 的序列分成若干段，每段長度都不超過 $i$ ，最後給每段染上 $[1,m]$ 內的顏色，相鄰段不能染同色的方案數
• 先列舉段數 $j$
• 如果我們已經確定了劃分方案，那麼染色方案數顯然是 $m(m-1)^{j-1}$
• 然後如果沒有每段長度不超過 $i$ 的限制，那麼劃分方案數為 $\binom{n-1}{j-1}$
• 如果加上了限制，我們可以考慮容斥
• 即考慮 $j$ 段中的一部分段，讓這些段的長度強行超過 $i$
• 也就是
• $\sum_{k=0}^j(-1)^k\binom jk\binom{n-ik-1}{j-1}$
• 其中 $(-1)^k$ 為容斥係數， $\binom jk$ 表示 $j$ 段中選 $k$ 段讓這些段長度強行超過 $i$ ， $\binom{n-ik-1}{j-1}$