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題意

給定 \(n\) 和 \(k\), 求長度為 \(n\) 的滿足下列條件的數列的數量模 \(998244353\) 的值:

• 所有值在 \([1,2^k)\) 中
• 前綴或的值嚴格遞增

\(n,k\le 3\times 10^4\)

題解

這題有點意思

首先肯定每一項都得有新出現的二進制位, 於是可以想到一個超簡單的 \(O(nk^2)\) 的DP, 設 \(dp_{i,j}\) 為長度為 \(i\) 且已經出現了 \(j\) 個二進制位的數列的個數. 然後考慮枚舉數列第 \(i\) 項的新二進制位個數, 那麽轉移顯然:
\[ dp_{i,j}=\sum_{k=1}^j {j\choose k} dp_{i-1,j-k}2^{j-k} \]

機智的我們一眼看出後面的轉移式子就是個二項卷積, 隨手比個階乘打個NTT上去就變成 \(O(nk\log k)\) 了.

然而這還不夠.

我們發現一次轉移相當於一次卷積和一次點積, 我們肯定想這玩意能不能快速冪一發.

然後我們非常sad地發現由於裏面那個 \(2^{j-k}\) 搞事情所以不能裸快速冪.

考慮這個 \(2^{j-k}\) 是拿來幹啥的. \(k\)

那麽如果轉移不是 \(1\) 位而是 \(m\) 位呢?

這次應該是這樣的轉移式:
\[ dp_{i,j}=\sum_{k=1}^j{j\choose k} dp_{i-m,j-k}dp_{m,k}2^{(j-k)m} \]
我們相當於在一個長度為 \(i-m\) 的序列後面接了長度為 \(m\) 的序列並用組合數讓他們的二進制位互不幹擾. 但是後面接的長度為 \(m\)

下標相同的並在一起就又是個二項卷積了, 倍增就好了. 復雜度 \(O(k \log k \log n)\).

參考代碼

#include <bits/stdc++.h>

const int G=3;
const int DFT=1;
const int IDFT=-1;
const int MAXN=1e5+10;
const int MOD=998244353;
const int PHI=MOD-1;

int n;
int k;
int dp[MAXN];
int pw[MAXN];
int tr[MAXN];
int tx[MAXN];
int rev[MAXN];
int fact[MAXN];

int C(int,int);
int Pow(int,int,int);
void NTT(int*,int,int);

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    pw[0]=1;
    fact[0]=1;
    for(int i=1;i<=k;i++){
        pw[i]=(pw[i-1]<<1)%MOD;
        fact[i]=1ll*fact[i-1]*i%MOD;
        tr[i]=Pow(fact[i],MOD-2,MOD);
    }
    int bln=1,bct=0;
    while(bln<=k*2){
        bln<<=1;
        ++bct;
    }
    for(int i=0;i<bln;i++)
        rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bct-1));
    NTT(tr,bln,DFT);
    dp[0]=1;
    int cur=1;
    while(n>0){
        if(n&1){
            for(int i=k+1;i<bln;i++)
                dp[i]=0;
            for(int i=0;i<=k;i++)
                dp[i]=1ll*dp[i]*Pow(pw[i],cur,MOD)%MOD;
            NTT(dp,bln,DFT);
            for(int i=0;i<bln;i++)
                dp[i]=1ll*dp[i]*tr[i]%MOD;
            NTT(dp,bln,IDFT);
        }
        NTT(tr,bln,IDFT);
        for(int i=k+1;i<bln;i++)
            tx[i]=0;
        for(int i=0;i<=k;i++)
            tx[i]=1ll*tr[i]*Pow(pw[i],cur,MOD)%MOD;
        NTT(tx,bln,DFT);
        NTT(tr,bln,DFT);
        for(int i=0;i<bln;i++)
            tr[i]=1ll*tr[i]*tx[i]%MOD;
        NTT(tr,bln,IDFT);
        for(int i=k+1;i<bln;i++)
            tr[i]=0;
        NTT(tr,bln,DFT);
        n>>=1;
        cur<<=1;
    }
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=k;i++)
        (ans+=1ll*dp[i]*fact[i]%MOD*C(k,i)%MOD)%=MOD;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

int C(int n,int m){
    return n<0||m<0||n<m?0:1ll*fact[n]*Pow(fact[m],MOD-2,MOD)%MOD*Pow(fact[n-m],MOD-2,MOD)%MOD;
}

void NTT(int* a,int len,int opt){
    for(int i=0;i<len;i++)
        if(rev[i]>i)
            std::swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(int i=1;i<len;i<<=1){
        int step=i<<1;
        int wn=Pow(G,(opt*PHI/step+PHI)%PHI,MOD);
        for(int j=0;j<len;j+=step){
            int w=1;
            for(int k=0;k<i;k++,w=1ll*w*wn%MOD){
                int x=a[j+k];
                int y=1ll*a[j+k+i]*w%MOD;
                a[j+k]=(x+y)%MOD;
                a[j+k+i]=(x-y+MOD)%MOD;
            }
        }
    }
    if(opt==IDFT){
        int inv=Pow(len,MOD-2,MOD);
        for(int i=0;i<len;i++)
            a[i]=1ll*a[i]*inv%MOD;
    }
}

inline int Pow(int a,int n,int p){
    int ans=1;
    while(n>0){
        if(n&1)
            ans=1ll*a*ans%p;
        a=1ll*a*a%p;
        n>>=1;
    }
    return ans;
}

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