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作者：Blackbird

在3D圖形程式設計中，經常要求平方根或平方根的倒數，例如：求向量的長度或將向量歸一化。C數學函式庫中的sqrt具有理想的精度，但對於3D遊戲程式來說速度太慢。我們希望能夠在保證足夠的精度的同時，進一步提高速度。

Carmack在QUAKE3中使用了下面的演算法，它第一次在公眾場合出現的時候，幾乎震住了所有的人。據說該演算法其實並不是Carmack發明的，它真正的作者是Nvidia

//
// 計算引數x的平方根的倒數
//
float InvSqrt (float x)
{
        float xhalf = 0.5f*x;
        int i = *(int*)&x;
        i = 0x5f3759df - (i >> 1);        // 計算第一個近似根
        x = *(float*)&i;
        x = x*(1.5f - xhalf*x*x);       // 牛頓迭代法
        return x;
}

該演算法的本質其實就是牛頓迭代法（Newton-Raphson Method，簡稱NR），而NR的基礎則是泰勒級數

函式：y=f(x)

其一階導數為：y'=f'(x)

則方程：f(x)=0 的第n+1個近似根為

x[n+1] = x[n] - f(x[n]) / f'(x[n])

現在回過頭來看看如何利用牛頓法來解決我們的問題。求平方根的倒數，實際就是求方程1/(x^2)-a=0的解。將該方程按牛頓迭代法的公式展開為：

x[n+1]=1/2*x[n]*(3-a*x[n]*x[n])

接著，我們要設法估計第一個近似根。這也是上面的函式最神奇的地方。它通過某種方法算出了一個與真根非常接近的近似根，因此它只需要使用一次迭代過程就獲得了較滿意的解。它是怎樣做到的呢？所有的奧妙就在於這一行：

i = 0x5f3759df - (i >> 1);  // 計算第一個近似根

超級莫名其妙的語句，不是嗎？但仔細想一下的話，還是可以理解的。我們知道，IEEE標準下，float型別的資料在32位系統上是這樣表示的（大體來說就是這樣，但省略了很多細節，有興趣可以GOOGLE）：

bits：31 30 ... 0
31：符號位
30-23：共8位，儲存指數（E）
22-0：共23位，儲存尾數（M）

所以，32位的浮點數用十進位制實數表示就是：M*2^E。開根然後倒數就是：M^(-1/2)*2^(-E/2)。現在就十分清晰了。語句i>>1其工作就是將指數除以2，實現2^(E/2)的部分。而前面用一個常數減去它，目的就是得到M^(1/2)同時反轉所有指數的符號。

至於那個0x5f3759df，呃，我只能說，的確是一個超級的Magic Number。

那個Magic Number是可以推匯出來的，但我並不打算在這裡討論，因為實在太繁瑣了。簡單來說，其原理如下：因為IEEE的浮點數中，尾數M省略了最前面的1，所以實際的尾數是1+M。如果你在大學上數學課沒有打瞌睡的話，那麼當你看到(1+M)^(-1/2)這樣的形式時，應該會馬上聯想的到它的泰勒級數展開，而該展開式的第一項就是常數。下面給出簡單的推導過程：

對於實數R>0，假設其在IEEE的浮點表示中，
指數為E，尾數為M，則：

R^(-1/2)
= (1+M)^(-1/2) * 2^(-E/2)

將(1+M)^(-1/2)按泰勒級數展開，取第一項，得：

原式
= (1-M/2) * 2^(-E/2)
= 2^(-E/2) - (M/2) * 2^(-E/2)

如果不考慮指數的符號的話，
(M/2)*2^(E/2)正是(R>>1)，
而在IEEE表示中，指數的符號只需簡單地加上一個偏移即可，
而式子的前半部分剛好是個常數，所以原式可以轉化為：

原式 = C - (M/2)*2^(E/2) = C - (R>>1)，其中C為常數

所以只需要解方程：
R^(-1/2)
= (1+M)^(-1/2) * 2^(-E/2)
= C - (R>>1)
求出令到相對誤差最小的C值就可以了

上面的推導過程只是我個人的理解，並未得到證實。而Chris Lomont則在他的論文中詳細討論了最後那個方程的解法，並嘗試在實際的機器上尋找最佳的常數C。有興趣的朋友可以在文末找到他的論文的連結。

所以，所謂的Magic Number，並不是從N元宇宙的某個星系由於時空扭曲而掉到地球上的，而是幾百年前就有的數學理論。只要熟悉NR和泰勒級數，你我同樣有能力作出類似的優化。

在GameDev.net上有人做過測試，該函式的相對誤差約為0.177585%，速度比C標準庫的sqrt提高超過20%。如果增加一次迭代過程，相對誤差可以降低到e-004的級數，但速度也會降到和sqrt差不多。據說在DOOM3中，Carmack通過查詢表進一步優化了該演算法，精度近乎完美，而且速度也比原版提高了一截（正在努力弄原始碼，誰有發我一份）。

值得注意的是，在Chris Lomont的演算中，理論上最優秀的常數（精度最高）是0x5f37642f，並且在實際測試中，如果只使用一次迭代的話，其效果也是最好的。但奇怪的是，經過兩次NR後，在該常數下解的精度將降低得非常厲害（天知道是怎麼回事！）。經過實際的測試，Chris Lomont認為，最優秀的常數是0x5f375a86。如果換成64位的double版本的話，演算法還是一樣的，而最優常數則為0x5fe6ec85e7de30da（又一個令人冒汗的Magic Number - -b）。

這個演算法依賴於浮點數的內部表示和位元組順序，所以是不具移植性的。如果放到Mac上跑就會掛掉。如果想具備可移植性，還是乖乖用sqrt好了。但演算法思想是通用的。大家可以嘗試推算一下相應的平方根演算法。

下面給出Carmack在QUAKE3中使用的平方根演算法。Carmack已經將QUAKE3的所有原始碼捐給開源了，所以大家可以放心使用，不用擔心會收到律師信。

//
// Carmack在QUAKE3中使用的計算平方根的函式
//
float CarmSqrt(float x){
        union{
                int intPart;
                float floatPart;
        } convertor;
        union{
                int intPart;
                float floatPart;
        } convertor2;
        convertor.floatPart = x;
        convertor2.floatPart = x;
        convertor.intPart = 0x1FBCF800 + (convertor.intPart >> 1);
        convertor2.intPart = 0x5f3759df - (convertor2.intPart >> 1);
        return 0.5f*(convertor.floatPart + (x * convertor2.floatPart));
}

另一個基於同樣演算法的更高速度的sqrt實現如下。其只是簡單地將指數除以2，並沒有考慮尾數的方根。要看懂該程式碼的話必須知道，在IEEE浮點數的格式中，E是由實際的指數加127得到的。例如，如果實數是0.1234*2^10，在浮點表示中，E（第23-30位）的值其實為10+127=137。所以下面的程式碼中，要處理127偏移，這就是常數0x3f800000的作用。我沒實際測試過該函式，所以對其優劣無從評論，但估計其精度應該會降低很多。

float    Faster_Sqrtf(float f)
{
        float   result;
        _asm
        {
                mov eax, f
                sub eax, 0x3f800000
                sar eax, 1
                add eax, 0x3f800000
                mov result, eax
        }
        return result;
}

除了基於NR的方法外，其他常見的快速演算法還有多項式逼近。下面的函式取自《3D遊戲程式設計大師技巧》，它使用一個多項式來近似替代原來的長度方程，但我搞不清楚作者使用的公式是怎麼推匯出來的（如果你知道的話請告訴我，謝謝）。

//
//      這個函式計算從(0,0)到(x,y)的距離，相對誤差為3.5%
//
int FastDistance2D(int x, int y)
{
        x = abs(x);
        y = abs(y);
        int mn = MIN(x,y);
        return(x+y-(mn>>1)-(mn>>2)+(mn>>4));
}
//
// 該函式計算(0,0,0)到(x,y,z)的距離，相對誤差為8%
//
float FastDistance3D(float fx, float fy, float fz)
{
        int temp;
        int x,y,z;
        // 確保所有的值為正
        x = int(fabs(fx) * 1024);
        y = int(fabs(fy) * 1024);
        z = int(fabs(fz) * 1024);
        // 排序
        if (y < x) SWAP(x,y,temp)
        if (z < y) SWAP(y,z,temp)
        if (y < x) SWAP(x,y,temp)
        int dist = (z + 11 * (y >> 5) + (x >> 2) );
        return((float)(dist >> 10));
}

還有一種方法稱為Distance Estimates（距離評估？），如下圖所示：

octagon(x,y) = min((1/√2) * (|x|+|y|), max(|x|,|y|))

√(x^2+y^2) = (|v1|+|v2|)/2 * octagon(x,y)

到目前為止我們都在討論浮點數的方根演算法，接下來輪到整數的方根演算法。也許有人認為對整型資料求方根無任何意義，因為會得到類似99^(1/2)=9的結果。通常情況下確實是這樣，但當我們使用定點數的時候（定點數仍然被應用在很多系統上面，例如任天堂的GBA之類的手持裝置），整數的方根演算法就顯得非常重要。對整數開平方的演算法如下。我並不打算在這討論它（事實是我也沒有仔細考究，因為在短期內都不會用到- -b），但你可以在文末James Ulery的論文中找到非常詳細的推導過程。

//
// 為了閱讀的需要，我在下面的巨集定義中添加了換行符
//
#define step(shift)
if((0x40000000l >> shift) + sqrtVal <= val)
{
        val -= (0x40000000l >> shift) + sqrtVal;
        sqrtVal = (sqrtVal >> 1) | (0x40000000l >> shift);
}
else
{
        sqrtVal = sqrtVal >> 1;
}
//
// 計算32位整數的平方根
//
int32 xxgluSqrtFx(int32 val)
{
        // Note: This fast square root function
        // only works with an even Q_FACTOR
        int32 sqrtVal = 0;
        step(0);
        step(2);
        step(4);
        step(6);
        step(8);
        step(10);
        step(12);
        step(14);
        step(16);
        step(18);
        step(20);
        step(22);
        step(24);
        step(26);
        step(28);
        step(30);
        if(sqrtVal < val)
        {
                ++sqrtVal;
        }
        sqrtVal <<= (Q_FACTOR)/2;
        return(sqrtVal);
}

關於sqrt的話題早在2003年便已在 GameDev.net上得到了廣泛的討論（可見我實在非常火星了，當然不排除還有其他尚在冥王星的人，嘿嘿）。而嘗試探究該話題則完全是出於本人的興趣和好奇心（換句話說就是無知）。其實現在隨著FPU的提升和對向量運算的硬體支援，大部分系統上都提供了快速的sqrt實現。如果是處理大批量的向量的話，據說最快的方法是使用SIMD（據說而已，我壓根不懂），可同步計算4個向量。

相關資源

這裡是當年在GameDev.net的討論，有趣的東西包括一些高手的評論和幾個版本的sqrt的實測數值。

有關NR和泰勒級數的內容，請參見MathWorld。

還有兩篇論文。一篇是關於Carmack演算法的推導過程；另一篇是關於整數方根演算法的推導過程：