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1.100萬個球隨機放入100萬個箱子，求空箱子的期望個數

概率論趣題：有空箱子的期望數是多少？ - 知乎
https://www.zhihu.com/question/34620836
答案：100萬*$e^{-1}$

，更一般地，設將n個球放入m個箱子，則空箱子的期望個數為$m(1-\frac{1}{m})^n$，當m趨於無窮時，近似等於$me^{-n/m}$

解析：設二值隨機變數

Bi $B_i$$B_i$表示第i個箱子最後是否為空（1為空，0為非空），則

$$E(B_i) = \sum_iB_iP(B_i)=P(B_i=1)=(1-\frac{1}{m})^n$$ 注：每個球放入除第i個箱子以外的其它箱子的概率是1-1/m
根據“獨立隨機變數和的期望等於隨機變數期望的和”，空箱子的期望個數
$$E(B) = E(\sum_iB_i)=\sum_iE(B_i)=m(1-\frac{1}{m})^n$$
再根據高數中的重要極限 $\lim_{x\to \infty} (1+\frac{1}{x})^x = e$，令x=-m，則上式即可近似為 $me^{-n/m}$。

2.在一個圓上隨便取三個點，求這三個點組成一個銳角三角形的概率

圓上任選三點組成三角形，這個三角形是銳角、鈍角和直角三角形的概率分別是多少？ - 知乎
https://www.zhihu.com/question/19824740
答案：1/4
解析：提供兩種解法

• 積分法：
  https://www.zhihu.com/question/19824740/answer/13078308
• 空間轉換+線性規劃法：三角形三個角對應的圓心角x,y,z滿足x+y+z=360，然後將該式看成是空間直角座標系中的平面，利用線性規劃結合銳角的約束條件即x,y,z均在(0,180度)範圍內容易算出概率是1/4，詳見連結。