演算法學習之動態規劃--數字三角形最大路徑和
題目:
7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5在上面的數字三角形中尋找一條從頂部到底邊的路徑,使得路徑上所經過的數字之和最大。路徑上的每一步都只能往左下或右下走。只需要求出這個最大和即可,不必給出具體路徑。三角形的行數大於1小於等於100,數字為 0 - 99。
輸入格式:
5//三角形行數。下面是三角形
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
要求輸出最大和
解題思路:
用二維陣列存放數字三角形。
D( r, j) : 第r行第 j 個數字(r,j從1開始算)
MaxSum(r, j) : 從D(r,j)到底邊的各條路徑中,最佳路徑的數字之和。
問題轉化為求 MaxSum(1,1),這是典型的遞迴問題。D(r, j)出發,下一步只能走D(r+1,j)或者D(r+1, j+1)。所以有了下面的第一種方法
方法一:遞迴求解
#include<iostream> using namespace std; const int maxn = 101; int D[maxn][maxn]; //儲存三角形中第i行第j列的數值,i、j均從1開始 int n; //三角形行數 int maxSum(int i, int j){ //從D(i,j)到底邊的各條路徑中,最佳路徑的數字之和。 if(i == n) //D(i,j)就在三角形底邊上 return D[i][j]; int x = maxSum(i+1,j); int y = maxSum(i+1,j+1); return max(x,y)+D[i][j]; //D(i,j)到底邊最優解 } int main(){ cin >> n; for(int i=1; i<=n; i++) for(int j=1; j<=i; j++) cin>>D[i][j]; cout<<maxSum(1,1)<<endl; //從三角形頂點到底邊最優解 return 0; }
這樣做會超時,因為有太多的重複計算。當時間複雜度為 2^n,對於 n = 100 行,肯定超時。
對第一種方法的改進:如果每算出一個MaxSum(r,j)就儲存起來,下次用到其值的時候直接取用,則可免去重複計算。那麼可以用O(n2)時間完成計算。因為三角形的數字總數是 n(n+1)/2。
方法二:記憶遞迴型動歸程式(對方法一的改進)
#include<iostream> using namespace std; const int maxn = 101; int sum[maxn][maxn]; //儲存已經算出的maxSum值 int D[maxn][maxn]; int n; int maxSum(int i, int j){ //從D(i,j)到底邊的各條路徑中,最佳路徑的數字之和。 if(sum[i][j] != -1) //此maxSum已算出過 return sum[i][j]; if(i == n) sum[i][j] = D[i][j]; else{ int x = maxSum(i+1,j); int y = maxSum(i+1,j+1); sum[i][j] = max(x,y)+D[i][j]; } return sum[i][j]; } int main(){ cin >> n; for(int i=1; i<=n; i++) for(int j=1; j<=i; j++){ cin>>D[i][j]; sum[i][j] = -1; //均初始化為-1 } cout<<maxSum(1,1)<<endl; return 0; }
方法二就有點囉嗦,我們現在不用遞迴,直接用遞推,也即動態規劃。在此方法中,從最底層往上層一層一層遞推求出當前最優解。程式碼如下。
方法三:動態規劃
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn = 101;
int n;
int D[maxn][maxn];
int maxSum[maxn][maxn]; //從D(i,j)到底邊的各條路徑中,最佳路徑的數字之和。
int main(){
cin >> n;
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=i; j++)
cin >> D[i][j];
for(int i=1; i<=n; i++)
maxSum[n][i] = D[n][i];
for(int i=n-1; i>=1; i--)
for(int j=1; j<=i; j++)
maxSum[i][j] = max(maxSum[i+1][j],maxSum[i+1][j+1]) + D[i][j];
cout << maxSum[1][1] <<endl;
return 0;
}
在方法三種,我們用了二維陣列儲存當前最優解,但實際上往上層遞推求解的過程中,我們只會用到下一層的資料,之前的結果都沒有用處了。所以只要一維陣列maxSum[100]即可。進一步考慮,連maxSum陣列都可以不要,直接用D的第n行替代maxSum即可。得到如下方法。
方法四:動態規劃(二) ( 推薦!)
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn = 101;
int n;
int D[maxn][maxn];
int main(){
cin >> n;
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=i; j++)
cin >> D[i][j];
int *maxSum = D[n]; //maxSum指向第n行,利用第n行的空間儲存結果
for(int i=n-1; i>=1; i--)
for(int j=1; j<=i; j++)
maxSum[j] = max(maxSum[j],maxSum[j+1]) + D[i][j];
cout << maxSum[1] <<endl;
return 0;
}
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