題目： （題目來源：中國大學Mooc，程序設計與算法（二）算法基礎視頻課程）

7

3 8

8 1 0

2 7 4 4

4 5 2 6 5

在上面的數字三角形中尋找一條從頂部到底邊的路徑，使得路徑上所經過的數字之和最大。路徑上的每一步都只能往左下或右下走。只需要求出這個最大和即可，不必給出具體路徑。（三角形的行數大於1小於等於100，數字為0-99）

解題思路：

用二維數組存放數字三角形。

D(r,j)：第r行第j個數字（r,j從1開始算）

MaxSum(r,j)：從D(r,j)到底邊的各條路徑中，最佳路徑的數字之和。

問題：求MaxSum(1,1)

典型的遞歸問題。D(r,j)出發，下一步只能走D(r+1,j)或者D(r+1,j+1)。故對於N行的三角形：

if(r==N)

MaxSum(r,j) = D(r,j)

else

MaxSum(r,j) = Max { MaxSum(r+1,j) , MaxSum(r+1 , j+1) } + D(r,j)

遞歸代碼：

#include "stdafx.h"
#include <iostream>
#include <algorithm>

#define MAX 101
using namespace std;

int D[MAX][MAX];
int n;

int MaxSum(int i,int j)
{
    if(i==n)
        
 
return D[i][j];
    int x = MaxSum(i+1,j);
    int y = MaxSum(i+1,j+1);
    return max(x,y)+D[i][j];
}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    int i,j;
    cin>>n;

    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            cin>>D[i][j];
    cout<<MaxSum(1,1)<<endl;
    
 
return 0;
}

記憶型遞歸代碼：

#include "stdafx.h"
#include <iostream>
#include <algorithm>

#define MAX 101
using namespace std;

int D[MAX][MAX];
int maxSum[MAX][MAX];
int n;

int MaxSum(int i,int j)
{
    if(maxSum[i][j]!=-1)
        return maxSum[i][j];
    if(i==n)
        return D[i][j];
    int x = MaxSum(i+1,j);
    int y = MaxSum(i+1,j+1);
    return max(x,y)+D[i][j];
}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    int i,j;
    cin>>n;

    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++){
            cin>>D[i][j];
            maxSum[i][j] =-1;
        }
    cout<<MaxSum(1,1)<<endl;
    return 0;
}

將遞歸轉化為遞推：

比如

7

3 8

8 1 0

2 7 4 4

4 5 2 6 5

從最下面一層 4 5 2 6 5開始往上面推，比如：max(4,5)+2=7，用新得到的7存放到原來2的位置，這樣反復循環往上計算，最終得到30。

因此規律就是：maxSum[i][j] = max(maxSum[i+1][j],maxSum[i+1][j+1]) + D[i][j]。

30

23 21

20 13 10

7 12 10 10

4 5 2 6 5

遞推代碼：

#include "stdafx.h"
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

#define MAX 101
int D[MAX][MAX];
int n;
int maxSum[MAX][MAX];

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    int i,j;
    cin>>n;

    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            cin>>D[i][j];
        }
    }

    for(int i =1 ;i<=n;++i)
    {
        maxSum[n][i] = D[n][i];
    }

    for(int i = n-1;i>=1;--i)
    {
        for(int j=1;j<=i;++j)
        {
            maxSum[i][j] = max(maxSum[i+1][j],maxSum[i+1][j+1])+D[i][j];
        }
    }
    cout << maxSum[1][1]<<endl;

    return 0;
}

運行結果示例：

動態規劃——數字三角形