問題描述

給定一個n頂點網路（有向或無向），找出一個包含n個頂點且具有最小耗費的換路。任何一個包含網路所有頂點的換路稱為一個旅行。旅行商問題（Traveling Salesman Problem，TSP）是要尋找一條耗費最少的旅行。

 

                     圖1 四頂點網路

如圖1是一個四頂點無向網路。這個網路的一些旅行：1,2,4,3,1；1,3,2,4,1和1,4,3,2,1。旅行1,2,4,3,1的耗費為66,；旅行1,3,2,4,1的耗費為25；旅行1,4,3,2,1的耗費為55.故1,3,2,4,1是網路中耗費最少的旅行。

演算法設計分析

旅行是包含所有頂點的一個迴圈，所以可以把任意頂點作為起點也是終點，我們選擇頂點1作為起點和終點。於是可以用[1,x2…,xn,1]表示一個旅行，那麼x2到xn的所有排列構成n頂點旅行商問題的解空間。

 

                              圖2  四頂點網路的解空間樹

城市之間的旅行耗費儲存在二維陣列cost[n][n] 中， bestCostSoFar 表示當前最優旅行，

C++實現

#include<iostream>
using namespace std;
#define N 5

//全域性變數
int n = N - 1;
int cost[N][N];  //cost[1:4][1:4] 表示城市之間的旅行耗費，不存在路徑則耗費等於-1
int bestTour[N];  //bestTour[1:4] 記錄最佳路徑
int currentTour[N];  //currentTour[1:4] 記錄當前路徑
 

int bestCostSoFar = -1;  //當前最低耗費
int currentCost = 0;  //當前耗費

void rTSP(int currentLevel)
{//回溯遞迴函式
    if (currentLevel == n)
    {//當前為葉結點的父節點
        if (cost[currentTour[n - 1]][n] != -1 && cost[currentTour[n]][1] != -1 &&
            (bestCostSoFar == -1 || currentCost + cost[currentTour[n - 1
 
]][n] +
                cost[currentTour[n]][1] < bestCostSoFar))
        {//發現最優的旅行
            bestCostSoFar = currentCost + cost[currentTour[n - 1]][n] +
                cost[currentTour[n]][1];
            copy(currentTour + 1, currentTour + n + 1, bestTour + 1);
        }
    }
    else
    {//搜尋子樹
        for (int j = currentLevel; j <= n; ++j)
            if (cost[currentTour[currentLevel - 1]][currentTour[j]] != -1 &&
                (bestCostSoFar == -1 || currentCost +
                    cost[currentTour[currentLevel - 1]][currentTour[j]] < bestCostSoFar))
            {//子樹currentTour[j]可行
                swap(currentTour[currentLevel], currentTour[j]);
                currentCost += cost[currentTour[currentLevel - 1]][currentTour[currentLevel]];
                rTSP(currentLevel + 1);
                currentCost -= cost[currentTour[currentLevel - 1]][currentTour[currentLevel]];
                swap(currentTour[currentLevel], currentTour[j]);
            }
    }
}

void init()
{
    cost[1][1] = -1;
    cost[1][2] = 30;
    cost[1][3] = 6;
    cost[1][4] = 4;

    cost[2][1] = 30;
    cost[2][2] = -1;
    cost[2][3] = 5;
    cost[2][4] = 10;

    cost[3][1] = 6;
    cost[3][2] = 5;
    cost[3][3] = -1;
    cost[3][4] = 20;

    cost[4][1] = 4;
    cost[4][2] = 10;
    cost[4][3] = 20;
    cost[4][4] = -1;
}
void main()
{
    init();

    int i;
    for (i = 1; i <= n; i++)
        currentTour[i] = i;

    rTSP(2);  //起點定為1，從第二層開始  

    cout << "最少的運費為:" << bestCostSoFar << endl;
    cout << "最佳路徑為: ";
    for (i = 1; i <= n; i++)
    {
        cout << bestTour[i] << "->";
    }
    cout << bestTour[1] << endl;
}

測試結果：

最少的運費為:25
最佳路徑為: 1->3->2->4->1
請按任意鍵繼續. . .