一.網路流:流&網路&割

1.網路流問題(NetWork Flow Problem):

給定指定的一個有向圖,其中有兩個特殊的點源S(Sources)和匯T(Sinks),每條邊有指定的容量(Capacity),求滿足條件的從S到T的最大流(MaxFlow).

The network flow problem considers a graph G with a set of sources S and sinks T and for which each edge has an assigned capacity (weight), and then asks to find the maximum flow that can be routed from S to T while respecting the given edge capacities.

下面給出一個通俗點的解釋

(下文基本避開形式化的證明 基本都用此類描述敘述)

好比你家是匯 自來水廠(有需要的同學可以把自來水廠當成銀行之類 以下類似)是源

然後自來水廠和你家之間修了很多條水管子接在一起 水管子規格不一 有的容量大 有的容量小

然後問自來水廠開閘放水 你家收到水的最大流量是多少

如果自來水廠停水了 你家那的流量就是0 當然不是最大的流量

但是你給自來水廠交了100w美金 自來水廠拼命水管裡通水 但是你家的流量也就那麼多不變了 這時就達到了最大流

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2.三個基本的性質:

如果 C代表每條邊的容量 F代表每條邊的流量

一個顯然的實事是F小於等於C 不然水管子就爆了

這就是網路流的第一條性質 容量限制(Capacity Constraints):F<x,y> ≤ C<x,y>

再考慮節點任意一個節點 流入量總是等於流出的量 否則就會蓄水(爆炸危險...)或者平白無故多出水(有地下水湧出?)

這是第二條性質 流量守恆(Flow Conservation):Σ F<v,x> = Σ F<x,u>

當然源和匯不用滿足流量守恆 我們不用去關心自來水廠的水是河裡的 還是江裡的

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最後一個不是很顯然的性質 是斜對稱性(Skew Symmetry): F<x,y> = - F<y,x>

這其實是完善的網路流理論不可缺少的 就好比中學物理裡用正負數來定義一維的位移一樣

百米起點到百米終點的位移是100m的話 那麼終點到起點的位移就是-100m

同樣的 x向y流了F的流 y就向x流了-F的流

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3.容量網路&流量網路&殘留網路:

網路就是有源匯的有向圖 關於什麼就是指邊權的含義是什麼

容量網路就是關於容量的網路 基本是不改變的(極少數問題需要變動)

流量網路就是關於流量的網路 在求解問題的過程中

通常在不斷的改變 但是總是滿足上述三個性質

調整到最後就是最大流網路 同時也可以得到最大流值

殘留網路往往概括了容量網路和流量網路 是最為常用的

殘留網路=容量網路-流量網路

這個等式是始終成立的 殘留值當流量值為負時甚至會大於容量值

流量值為什麼會為負?有正必有負,記住斜對稱性!

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4.割&割集:

無向圖的割集(Cut Set):C[A,B]是將圖G分為A和B兩個點集 A和B之間的邊的全集

A set of edges of a graph which, if removed (or "cut"), disconnects the graph (i.e., forms a disconnected graph).

網路的割集:C[S,T]是將網路G分為s和t兩部分點集 S屬於s且T屬於t 從S到T的邊的全集

帶權圖的割(Cut)就是割集中邊或者有向邊的權和

Given a weighted, undirected graph G=(V,E) and a graphical partition of V into two sets A and B, the cut of G with respect to A and B is defined as cut(A,B)=sum_(i in A,j in B)W(i,j),where W(i,j) denotes the weight for the edge connecting vertices i and j. The weight of the cut is the sum of weights of edges crossing the cut.

通俗的理解一下:

割集好比是一個恐怖分子 把你家和自來水廠之間的水管網路砍斷了一些

然後自來水廠無論怎麼放水 水都只能從水管斷口嘩嘩流走了 你家就停水了

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割的大小應該是恐怖分子應該關心的事 畢竟細管子好割一些

而最小割花的力氣最小

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二.計算最大流的基本演算法

那麼怎麼求出一個網路的最大流呢?

這裡介紹一個最簡單的演算法:Edmonds-Karp演算法 即最短路徑增廣演算法 簡稱EK演算法

EK演算法基於一個基本的方法:Ford-Fulkerson方法 即增廣路方法 簡稱FF方法

增廣路方法是很多網路流演算法的基礎 一般都在殘留網路中實現

其思路是每次找出一條從源到匯的能夠增加流的路徑 調整流值和殘留網路 不斷調整直到沒有增廣路為止

FF方法的基礎是增廣路定理(Augmenting Path Theorem):網路達到最大流當且僅當殘留網路中沒有增廣路

證明略 這個定理應該能夠接受的吧

EK演算法就是不斷的找最短路 找的方法就是每次找一條邊數最少的增廣 也就是最短路徑增廣

這樣就產生了三個問題:

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1.最多要增廣多少次?

可以證明 最多O(VE)次增廣 可以達到最大流 證明略

2.如何找到一條增廣路?

先明確什麼是增廣路 增廣路是這樣一條從s到t的路徑 路徑上每條邊殘留容量都為正

把殘留容量為正的邊設為可行的邊 那麼我們就可以用簡單的BFS得到邊數最少的增廣路

3.如何增廣?

BFS得到增廣路之後 這條增廣路能夠增廣的流值 是路徑上最小殘留容量邊決定的

把這個最小殘留容量MinCap值加到最大流值Flow上 同時路徑上每條邊的殘留容量值減去MinCap

最後 路徑上每條邊的反向邊殘留容量值要加上MinCap 為什麼? 下面會具體解釋

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這樣每次增廣的複雜度為O(E) EK演算法的總複雜度就是O(VE^2)

事實上 大多數網路的增廣次數很少 EK演算法能處理絕大多數問題

平均意義下增廣路演算法都是很快的

增廣路演算法好比是自來水公司不斷的往水管網裡一條一條的通水

上面還遺留了一個反向邊的問題: 為什麼增廣路徑上每條邊的反向邊殘留容量值要加上MinCap?

因為斜對稱性! 由於殘留網路=容量網路-流量網路

容量網路不改變的情況下

由於增廣好比給增廣路上通了一條流 路徑說所有邊流量加MinCap

流量網路中路徑上邊的流量加MinCap 反向邊流量減去MinCap

相對應的殘留網路就發生相反的改變

這樣我們就完成了EK演算法 具體實現可以用鄰接表存圖 也可以用鄰接矩陣存圖

鄰接表存圖 由於流量同時存在於邊與反向邊 為了方便求取反向邊 建圖把一對互為反向邊的邊建在一起

程式碼很簡單 最好自己實現一下

EK

看一個具體的增廣路演算法的例子吧

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三.最大流最小割定理

下面介紹網路流理論中一個最為重要的定理

最大流最小割定理(Maximum Flow, Minimum Cut Theorem):網路的最大流等於最小割

The maximum flow between vertices v_i and v_j in a graph G is exactly the weight of the smallest set of edges to disconnect G with v_i and v_j in different components.

具體的證明分三部分

1.任意一個流都小於等於任意一個割

這個很好理解 自來水公司隨便給你家通點水 構成一個流

恐怖分子隨便砍幾刀 砍出一個割

由於容量限制 每一根的被砍的水管子流出的水流量都小於管子的容量

每一根被砍的水管的水本來都要到你家的 現在流到外面 加起來得到的流量還是等於原來的流

管子的容量加起來就是割 所以流小於等於割

由於上面的流和割都是任意構造的 所以任意一個流小於任意一個割

2.構造出一個流等於一個割

當達到最大流時 根據增廣路定理

殘留網路中s到t已經沒有通路了 否則還能繼續增廣

我們把s能到的的點集設為S 不能到的點集為T

構造出一個割集C[S,T] S到T的邊必然滿流 否則就能繼續增廣

這些滿流邊的流量和就是當前的流即最大流

把這些滿流邊作為割 就構造出了一個和最大流相等的割

3.最大流等於最小割

設相等的流和割分別為Fm和Cm

則因為任意一個流小於等於任意一個割

任意F≤Fm=Cm≤任意C

定理說明完成

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四.簡單的應用

Poj 1459是一個很典型的網路流應用

把電流想象成水流

注意把多源多匯轉化為單源單匯即可利用EK演算法解決問題

網路流的應用還有很多 化歸的思想是網路流最具魅力的地方

程式碼如下:

PowerNet
const    maxh=10;
    maxn=100; maxq=110;
    num:set of char=['0'..'9'];
    oo=1000000;
 var    c,f:array[0..maxn+1,0..maxn+1]of longint;
    n,m,k1,k2,tx,hx,head,tail,s,t,x,y,z,i:longint;
    pre,h:array[0..maxn+1]of longint;
    p:array[0..maxn+1]of boolean;
    q:array[1..maxq]of longint;
 procedure getc(var x:longint);
 var    ch:char;
 begin
x:=0;
read(ch);
while not(ch in num) do
    read(ch);
while ch in num do
    begin
    x:=x*10+ord(ch)-48;
    read(ch);
    end;
end;
procedure pop;
begin
p[q[head]]:=false;
inc(head); inc(hx);
if head>maxq then head:=1;
end;
procedure push(x:longint);
begin
inc(tail); inc(tx);
if tail>maxq then tail:=1;
q[tail]:=x; p[x]:=true;
end;
function min(x,y:longint):longint;
begin
min:=x;
if y<x then min:=y;
end;
begin
assign(input,'PowerNet.in'); reset(input);
assign(output,'PowerNet.out'); rewrite(output);
while not seekeof do
    begin
        read(n,k1,k2,m);
    s:=n; t:=n+1;
    fillchar(c,sizeof(c),0);
    for i:=1 to m do
        begin
        getc(x); getc(y); getc(z);
        c[x,y]:=c[x,y]+z;
        end;
    for i:=1 to k1 do
        begin
        getc(x); getc(y);
        c[s,x]:=y;
        end;
    for i:=1 to k2 do
        begin
        getc(x); getc(y);
        c[x,t]:=y;
        end;
    hx:=1; tx:=0;
    head:=1; tail:=0;
    fillchar(p,sizeof(p),false);
    p[s]:=true; p[t]:=true;
    fillchar(f,sizeof(f),0);
    fillchar(pre,sizeof(pre),0);
    fillchar(h,sizeof(h),0);
    h[s]:=maxh; dec(n);
    for i:=0 to n do
        if c[s,i]>0
            then begin
            h[i]:=1; pre[i]:=c[s,i];
            f[s,i]:=c[s,i]; f[i,s]:=-c[s,i];
            push(i);
            end;
    while hx<=tx do
        begin
        x:=q[head];
        for i:=0 to t do
            begin
            y:=c[x,i]-f[x,i];
            if (h[x]=h[i]+1)and(y>0)
                then begin
                if not p[i] then push(i);
                z:=min(pre[x],y);
                f[x,i]:=f[x,i]+z;
                f[i,x]:=f[i,x]-z;
                pre[x]:=pre[x]-z;
                pre[i]:=pre[i]+z;
                end;
            if pre[x]=0 then break;
            end;
        pop;
        if pre[x]>0
            then begin
            y:=oo;
            for i:=0 to t do
                if c[x,i]>f[x,i]
                    then y:=min(y,h[i]);
            h[x]:=y+1;
            push(x);
            end;
        end;
    writeln(pre[t]);
    end;
close(input); close(output);
end.