整數的故事(3)——最小公倍數與哥德巴赫猜想
最小公倍數
就像硬幣的正反兩面，最大公約數往往是和最小公倍數成對出現的。對於兩個不等於零的整數a和b，如果a|k且b|k，那麼k就是a和b的公倍數；在所有的k中，大於0的最小者就是a和b的最小公倍數（least common multiple），記作c = LCM(a,b)，根據慣例，a≥b。
尋找最小公倍數
尋找兩個數的最小公倍數遠比尋找它們的最大公約數簡單：
1 # 求a,b的最小公倍數 2 def lcm(a, b): 3 m, n = abs(a), abs(b) 4 if m < n: 5 m, n = n, m 67 result = 1 8 for x in range(1, n + 1): 9 cm = m * x 10 if cm % n == 0: 11 result = cm 12 break 13 14 return result
根據定義，最小公倍數是正整數，計算負數的最小公倍數相當於計算其絕對值的最小公倍數。
尋找最小公倍數2.0版
既然最大公約數和最小公倍數經常成對出現，是否能夠通過其中一個直接計算另一個呢？當然可以，這需要用到下面的定理：
定理說的是a和b的乘積等於它們最大公約數和最小公倍數的乘積，於是我們得到了尋找最小公倍數的另一個版本：
1 # 求a,b的最小公倍數 2 def lcm_2(a, b): 3 m, n = abs(a), abs(b) 4 if m < n: 5 m, n = n, m 6 7 return (a * b) / gcd(a, b)
可以隨便找一些數字去驗證，驗證的結果一定是正確的，但是定理是概念和其它定理推導而來的，而不是根據通過無數個計算總結出來的，讓我們看看這個定理為什麼成立。
依然是利用素因子表示式：
p1,p2……pt是a和b共同的素因子，它們的次數可以是0，比如：
由於素因子分解是唯一的，所以a和b的約數的素因子將是：
只有這樣才能儲存a’|a，b’|b。作為a和b的最大公約數，GCD(a,b)可以分解為：
類似的，LCM(a,b)可以分解為：
將二者相乘：
哥德巴赫猜想猜的是什麼
哥德巴赫猜想是最廣為人知的數學難題，它的簡稱是1+1，這實在不怎麼好。最普遍的誤解版本是說哥德巴赫猜想就是證明1+1=2——一個蘋果加另一個蘋果為什等於兩個蘋果至今還沒有被證明，這就一點不貼邊了，哥德巴赫才不會那麼無聊。另一個誤解版本稍微高階一點，說一個素數加上另一個素數等於一個偶數，這個就不用麻煩老爺子了吧，更不用著尤拉，我就能證明。
真正的哥德巴赫猜想是哥德巴赫在1742年提出的：任一大於2的偶數都可寫成兩個素數之和。但是哥德巴赫自己無法證明它，於是就寫信請教赫赫有名的大數學家尤拉幫忙證明，但是一直到死，尤拉也無法證明。因現今數學界已經不使用“1也是素數”這個約定，所以哥德巴赫猜想的現代版本是：“所有大於4的偶數都可以分解成兩個素數（質數）的和”，簡稱1+1，沒有=2。
整數比自然數更多嗎？
這裡有個好玩的問題，整數是無窮的，自然數也是無窮的，那麼整數和自然數的個數哪個更多呢？
第一感覺是整數更多，多了一倍，它比自然數多了負值部分。但真相是，二者的數量一樣多！這就要了解數學中是怎樣定義“一樣多”的。在數學中，如果兩個集合能夠產生一一對應的關係，並且這個對應關係可以用一個函式表示，我們就可以說這兩個集合的元素一樣多。比如整數和自然數的對應可以是：
這個對應關係函可以是：
x是整數，f(x)是自然數，無論哪一個整數，都能在自然數中找到唯一的對應。f(x)沒有盡頭，所以不用關心會對應不上。
自然數和實數是否也有這樣的對應關係呢？沒有。它們無法產生一一對應，因為每兩個實數間都有無窮多個數，無法有效寫出一個對應關係。
全體實數比±1之間的實數更多嗎？
整數和自然數一樣多，那麼全體實數的個數與[-1,1]區間內的實數個數哪個多呢？第一感覺又是實數多，但實際上二者一樣多！
這個匪夷所思的問題可以用一個數軸表示，說明二者一一對應：數軸上的每一個點都代表一個實數，把-1 到1之間的線段的向上彎折，得到一個與0點相切，弧長是2的圓弧：
現在，把數軸上的任意點與弧連線，都可以在弧上找到唯一點：
弧上的點和數軸上的點都有無數個，最終的密集連線將會變成一個平面，無限遠端的連線也將近似地平行於數軸。由此可見，二者的數量相等，更準確的說是“勢”相等。
作者：我是8位的
出處：http://www.cnblogs.com/bigmonkey
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