分治法的原理

討論問題時，先來了解一下什麼是分治法。

分治法的意思就是，分而治之，也就是把一個問題，拆分成幾個小問題，最後再彙總解決的方法

通過大整數相乘問題來了解分治法

假如現在我們要求兩個大整數相乘的乘積，如1234 * 1234（這裡為了了分析簡便，所以不舉形如1234567891234567這樣的大整數，不必要在此糾結），那麼按照我們小學學的乘法，就是用乘數的每一項去和1234相乘，這樣很明顯，演算法的時間複雜度是O(n^2)，效率很低下，那麼有沒有一種更好的方式？我們可以使用分治法來解決。

演算法分析

1. 首先將X和Y分成A，B，C，D
2. 此時將X和Y的乘積轉化為圖中的式子，把問題轉化為求解式子的值

看起來好像有點變化，分析一下：對這個式子，我們一共要進行4次 n / 2的乘法（AC2次， AD， BC）和 3次加法，因而該演算法的時間複雜度為：

T(n) = 4 * T(n / 2) + θ(n)
通過master定理可以求得 T(n) = θ(n ^ 2)，跟小學演算法的時間複雜度沒有區別。

但是我們再來看看，我們是否可以用加法來換取乘法？因為多一個加法操作，也是常數項，對時間複雜度沒有影響，如果減少一個乘法則不同。

XY=AC2^n+[(A-B)(D-C)+AC+BD]2^n/2+BD

現在的時間複雜度為：

T(n) = 3 * T(n / 2) + θ(n)，通過master定理求得，T(n) = O(n^log2(3) ) = O(n^1.59 )。

Master定理：

Master定理例項：

時間複雜度O的意義

例項分析

對X = 1234 和 Y = 5678來分析：

divideConquer（1234， 5678， 4）
————————————————————————
X=1234 | A=12 | B=34 | A-B=-22

Y=5678 | C=56 | D=78 | D-C=22

三次遞迴：
AC = divideConquer（12， 56， 2）
BD = divideConquer（34， 78， 2）
(A-B)(D-C) = divideConquer（-22， 22， 2）

AC遞迴
————————————————————————

X=12 | A1=1 | B1=2 | A1-B1=-1

Y=56 | C1=5 | D1=6 | D1-C1=1

A1*C1 = divideConquer（1， 5， 1） = 5
B1*D1 = divideConquer（2， 6， 1） = 12
（A1-B1） * （D1-C1） = divideConquer（-1， 1， 1） = -1；

所以AC遞迴求得的值為：5 * 10 ^ 2 + （-1 + 5 + 12）* 10 + 12 = 672

同理可得 BD = 2652 和 (A-B)(D-C) = -484

最終可得 X * Y = 7006652

程式碼實現

#include<cstdio>
#include<cmath>

using namespace std;

#define SIGN(A) ((A > 0) ? 1 : -1) 
int divideConquer(int X, int Y, int n){
    int sign = SIGN(X) * SIGN(Y);
    int x = abs(X);
    int y = abs(Y);
    if(x == 0 || y == 0){
        return 0;
    }else if(n == 1){
        return sign * x * y;
    }else{
        int A = (int) x / pow(10, (int)(n / 2));
        int B = x - A * pow(10, n / 2);
        int C = (int) y / pow(10, (int)(n / 2));
        int D = y - C * pow(10, n / 2);
        int AC = divideConquer(A, C, n / 2);
        int BD = divideConquer(B, D, n / 2);
        int ABDC = divideConquer((A - B), (D - C), n / 2) + AC + BD;
        return sign * (AC * pow(10 , n) + ABDC * pow(10, (int)(n / 2)) + BD); 
    }
}

int main(){
    int x, y, n;
    scanf("%d%d%d", &x, &y, &n);
    printf("x 和 y的乘積為：%d", divideConquer(x, y, n));
}

結果：