基礎概念

首先來看一下離散數學中的一些基礎概念：
通路：在無向圖中由點邊交替組成的序列就是通路（如果這個圖是簡單的，那麼也可以使用點的序列來表示），如果首尾的點相同，則稱為一條迴路
無向圖的連通性：無向圖中任意一對點之間均有通路
尤拉通路：從某個頂點出發，將所有的邊遍歷一遍並且僅經過一遍的通路序列稱為尤拉通路，連通的多重圖有歐拉回路而無歐拉回路當且僅當它恰有兩個奇數度頂點
這裡說明了尤拉通路的條件：

• 圖是連通的，沒有孤立節點
• 對於無向圖來說，奇數度的頂點為2個，這兩個頂點分別是起點以及終點（0個的話就是迴路了）

歐拉回路：如果尤拉通路的起點與終點一樣，則成為歐拉回路， 連通的多重圖具有歐拉回路當且僅當它的每個頂點都有偶數度
則歐拉回路的條件：

• 圖是連通的，沒有孤立節點
• 無向圖的每個節點的度數都是偶數度，有向圖每個節點的入度等於出度

判斷圖是否存在歐拉回路

根據判斷的條件，首先是判斷圖的連通性，然後判斷圖的每個節點的度數是否是偶數就可以了：

例如，這個題目：

輸入描述:

測試輸入包含若干測試用例。每個測試用例的第1行給出兩個正整數，分別是節點數N ( 1 < N < 1000 )和邊數M；隨後的M行對應M條邊，每行給出一對正整數，分別是該條邊直接連通的兩個節點的編號（節點從1到N編號）。當N為0時輸入結束。

輸出描述:

每個測試用例的輸出佔一行，若歐拉回路存在則輸出1，否則輸出0。
示例1
輸入

3 3
1 2
1 3
2 3
3 2
1 2
2 3
0
輸出

1
0

程式碼

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<memory.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
#define N 1005
int n,m;
int a,b;
int degree[N];
int tree[N];

int findroot(int x){               //並查集的方式判斷圖連通性
    if(tree[x]==-1)
        return
 
 x;
    else{
        int temp = findroot(tree[x]);
        tree[x] = temp;
        return temp;
    }
}
int main(){
    while(cin>>n && n){
        cin>>m;
        memset(tree, -1, sizeof(tree));
        memset(degree, 0, sizeof(degree));
        for(int i=0; i<m; i++){
            cin>>a>>b;
            int tempa = findroot(a);
            int tempb = findroot(b);
            if(tempa != tempb)
                tree[tempa] = tempb;
            degree[a]++;                //無向圖記錄度數
            degree[b]++;
        }
        int flag = 0;
        int ans = 0;
        for(int i=1; i<= n; i++){     //判斷連通性
            if(tree[i]==-1)
                ans++;
        }
        for(int i=1; i<=n; i++){    //判斷度數
            if(degree[i]%2){
                flag = 1;
                break;
            }
        }
        if(ans > 1 || flag)
            cout<<"0"<<endl;
        else
            cout<<"1"<<endl;
    }
}