Trie樹概述

   Trie樹，又稱字典樹、字首樹、單詞查詢樹、鍵樹，是一種多叉樹形結構，是一種雜湊樹的變種。Trie這個術語來自於retrieval，發音為/tri:/ “tree”，也有人讀為/traɪ/ “try”。Trie樹典型應用是用於快速檢索（最長字首匹配），統計，排序和儲存大量的字串，所以經常被搜尋引擎系統用於文字詞頻統計，搜尋提示等場景。它的優點是最大限度地減少無謂的字串比較，查詢效率比較高。

   Trie樹的核心思想是空間換時間，利用字串的公共字首來降低查詢時間的開銷以達到提高效率的目的。

   Trie樹有3個基本性質：

 - 根節點不包含字元，除根節點外每一個節點都只包含一個字元
 - 從根節點到某一節點，路徑上經過的字元連線起來，為該節點對應的字串
 - 每個節點的所有子節點包含的字元都不相同
 

Trie樹的插入

   上面我們瞭解了Trie樹的性質，現在我們根據Trie樹的性質來建立一個Trie樹。假設我們現在有b，abc，abd，bcd，abcd，efg，hii 這6個單詞，構建出的Trie樹如下圖所示：

   搭建Trie的方法很簡單，其實就是將單詞的每個字母逐一插入Trie樹。插入前先看字母對應的節點是否存在，存在則共享該節點，不存在則建立對應的節點。比如要插入新單詞and，就有下面幾步：

 1. 插入第一個字母"a"，發現root節點存在子節點a，則共享節點a
 2. 插入第二個字母"n"，發現節點a存在子節點n，則共享節點n
 3. 插入第三個字母"d"，發現節點n不存在子節點d，則建立子節點d。
 4. 至此，單詞and中所有字母已被插入Trie樹中，然後設定節點d中的標誌位，標記路徑root->a->n->d這條路徑上所有節點的字元可以組成一個單詞and
 

Trie樹的查詢

   從root節點開始按照單詞的字母順序向下遍歷Trie樹，遍歷完成有兩種情況：

 1. 單詞中每個字母都在Trie樹中被查詢過，此時Trie樹不一定被遍歷完
 2. 單詞中部分字母未在Trie樹中被查詢過，此時Trie樹一定被遍歷完

   查詢單詞是否存在，我們不會管遍歷完成時是上面的哪種情況，我們只需要關注遍歷結束時Trie樹最後一個被遍歷的節點last。若節點last中設定了標誌位（即表示路徑root->…->last上所有節點的字元可以組成一個單詞）則表示被查詢的單詞存在於Trie樹中，否則表示不存在。

演算法思想

   概述中已經說過，Trie的核心思想是空間換時間，利用字串的公共字首來降低查詢時間的開銷以達到提高效率的目的。

   假設字元的種數有m個，有若干個長度為n的字串構成了一個Trie樹，則每個節點的出度為m（即每個節點的可能子節點數量為m），Trie樹的高度為n。很明顯我們浪費了大量的空間來儲存字元，此時Trie樹的最壞空間複雜度為O(m^n)。也正由於每個節點的出度為m，所以我們能夠沿著樹的一個個分支高效的向下逐個字元的查詢，而不是遍歷所有的字串來查詢，此時Trie樹的最壞時間複雜度為O(n)。這正是空間換時間的體現，也是利用公共字首降低查詢時間開銷的體現。

Trie樹的實現

Trie樹和其它資料結構的比較

Trie樹與二叉搜尋樹

   二叉搜尋樹應該是我們最早接觸的樹結構了，我們知道，資料規模為n時，二叉搜尋樹插入、查詢、刪除操作的時間複雜度通常只有O(log n)，最壞情況下整棵樹所有的節點都只有一個子節點，退變成一個線性表，此時插入、查詢、刪除操作的時間複雜度是O(n)。

   通常情況下，Trie樹的高度n要遠大於搜尋字串的長度m，故查詢操作的時間複雜度通常為O(m)，最壞情況下的時間複雜度才為O(n)。很容易看出，Trie樹最壞情況下的查詢也快過二叉搜尋樹。

   文中Trie樹都是拿字串舉例的，其實它本身對key的適宜性是有嚴格要求的，如果key是浮點數的話，就可能導致整個Trie樹巨長無比，節點可讀性也非常差，這種情況下是不適宜用Trie樹來儲存資料的；而二叉搜尋樹就不存在這個問題。

Trie樹與Hash表

   考慮一下Hash衝突的問題。Hash表通常我們說它的複雜度是O(1)，其實嚴格說起來這是接近完美的Hash表的複雜度，另外還需要考慮到hash函式本身需要遍歷搜尋字串，複雜度是O(m)。在不同鍵被對映到“同一個位置”（考慮closed hashing，這“同一個位置”可以由一個普通連結串列來取代）的時候，需要進行查詢的複雜度取決於這“同一個位置”下節點的數目，因此，在最壞情況下，Hash表也是可以成為一張單向連結串列的。

   Trie樹可以比較方便地按照key的字母序來排序（整棵樹先序遍歷一次就好了），這跟絕大多數Hash表是不同的（Hash表一般對於不同的key來說是無序的）。

   在較理想的情況下，Hash表可以以O(1)的速度迅速命中目標，如果這張表非常大，需要放到磁碟上的話，Hash表的查詢訪問在理想情況下只需要一次即可；但是Trie樹訪問磁碟的數目需要等於節點深度。

   很多時候Trie樹比Hash表需要更多的空間，我們考慮這種一個節點存放一個字元的情況的話，在儲存一個字串的時候，沒有辦法把它儲存成一個單獨的塊。Trie樹的節點壓縮可以明顯緩解這個問題，後面會講到。

Trie樹與字尾樹

TODO

Trie樹的改進

1. 按位Trie樹（Bitwise Trie）：原理上和普通Trie樹差不多，只不過普通Trie樹儲存的最小單位是字元，但是Bitwise Trie存放的是位而已。位資料的存取由CPU指令一次直接實現，對於二進位制資料，它理論上要比普通Trie樹快。

2. 節點壓縮。

   1. 分支壓縮：對於穩定的Trie樹，基本上都是查詢和讀取操作，完全可以把一些分支進行壓縮。例如，前圖中最右側分支的inn可以直接壓縮成一個節點“inn”，而不需要作為一棵常規的子樹存在。Radix樹就是根據這個原理來解決Trie樹過深問題的。

   2. 節點對映表：這種方式也是在Trie樹的節點可能已經幾乎完全確定的情況下采用的，針對Trie樹中節點的每一個狀態，如果狀態總數重複很多的話，通過一個元素為數字的多維陣列（比如Triple Array Trie）來表示，這樣儲存Trie樹本身的空間開銷會小一些，雖說引入了一張額外的對映表。

參考