題意

一條單向的鐵路線上,依次有編號為 1, 2, …, n 的 n 個火車站。每個火車站都有一個級別,最低為 1 級。現有若干趟車次在這條線路上行駛,每一趟都滿足如下要求:如果這趟車次停靠了火車站 x,則始發站、終點站之間所有級別大於等於火車站 x 的都必須停靠。
(注意:起始站和終點站自然也算作事先已知需要停靠的站點)
例如,下表是 5 趟車次的執行情況。其中,前 4 趟車次均滿足要求,而第 5 趟車次由於停靠了 3 號火車站(2 級)卻未停靠途經的 6 號火車站(亦為 2 級)而不滿足要求。

現有 m 趟車次的執行情況(全部滿足要求),試推算這 n 個火車站至少分為幾個不同的級別。

[Solution]
這題可以根據車分級,也可以根據點分級,寫起來都差不多
(只是根據車分級跑的快,根據點分級跑得慢……)

先考慮點:
先說如何分級:如果兩個點(A和B)被同一輛車經過,並且車停在了A,沒有停在B,那麼A的等級一定比B高.

那麼根據這個,把等級高的向等級低的連一條邊,表示它們不能在同一個等級.這個做法還是很好實現的,而且程式碼也很短.只需在讀入時記錄停留的點和沒停留的點,把停留的點向所有沒停留的點連一條邊就好了.

這就是根據點分級的做法了,只要算出不同等級的數量,就得到了答案

然後就是怎麼求的問題了,很容易發現,構造出的圖一定是一個有向無環圖(DAG),所以當然是選擇dp求了.每個點的等級都是所有兒子中的最大值加1.

由於資料很水,這種方法卡下常數就過了…..

如果有了點的做法,其實車的做法也很接近了:
把車的等級定為這輛車上等級最低的點.對於兩輛車(A,B),假如它們的路線相交,在相交路徑上停靠點少的車的等級比另一輛高.這樣車也有等級了,然後把車當成點,再按點的演算法計算就好了.

但是這樣好像不對,車的等級為什麼能代表點的等級呢?

可以看下面的圖:

(黑點表示停靠的點)

A車的等級為2,B為1.但是它們上面都有和它們等級不同的點;不過,這也沒關係,因為取了這輛車中等級最高的點,所以不用關心其它點.
(但是必須再加一輛從1到n停靠所有點的車,保證沒有點的等級為0

這樣的話和上一種其實差不多,但是,車之間比較大小隻需要用字首和維護區間和,就可以讓比較大小的複雜度變為O

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int M=1005;
struct node {
    int st,ed;
    int sum[M];
    bool operator > (const node &t) const {
        int mst=max(st,t.st);
        int med=min(ed,t.ed);
        if (mst>med) return false;
        return sum[med]-sum[mst-1]>t.sum[med]-t.sum[mst-1];
    }
} way[M];
vector <int> e[M];
int dp[M];
int rec(int x) {
    if (dp[x]) return dp[x];
    int res=0;
    for (int i=0;i<e[x].size();++i) {
        res=max(res,rec(e[x][i]));
    }
    return dp[x]=res+1;
}
int main() {
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for (int i=1;i<=m;++i) {
        int s;
        scanf("%d",&s);
        for (int j=1;j<=s;++j) {
            int x;
            scanf("%d",&x);
            if (j==1) way[i].st=x;
            else if (j==s) way[i].ed=x;
            way[i].sum[x]=1;
        }
        for (int j=way[i].st;j<=way[i].ed;++j) way[i].sum[j]+=way[i].sum[j-1];
    }
    way[0].st=0,way[0].ed=n;
    for (int i=1;i<=n;++i) way[0].sum[i]=way[0].sum[i-1]+1;
    for (int i=0;i<=m;++i) {
        for (int j=0;j<=m;++j) {
            if (i==j) continue;
            if (way[i]>way[j]) e[i].push_back(j);
        }
    }
    int res=0;
    for (int i=0;i<=m;++i) {
        res=max(res,rec(i));
    }
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}