NKOJ3801 分解質因數

問題描述

記Pi表示正整數i的質因數集合。

已知正整數n,求滿足下列條件的有序正整數對(a,b)的數目：

(1)1<=a<=b<=n
(2)t為a,b的最大公約數，Pt是Pn的子集

輸入格式

一個正整數n.

輸出格式

一個正整數，表示合題意的有序正整數對的數目.

樣例輸入 1

6

樣例輸出 1

20

樣例輸入 2

7

樣例輸出 2

19

資料範圍

50%的資料1<=n<=2000;

100%的資料1<=n<=1000000.

1是沒有質因數的，因此1的質因數集合是空集，而空集屬於所有集合。此時顯然可以用尤拉函式來搞。

注意到尤拉函式的計算式：

ϕ(x)=x(1−1p1)(1−1p2)(1−1p3)…(1−1pk)，p1,p2…pk,x=pa11pa22pa33…pakk

尤拉函式函式的本質是容斥原理。那麼將尤拉函式稍加改動，設p是Pn中的元素，那麼我們可以先求出正常的ϕ(x)，當p|x時將ϕ(x)乘上pp−1得到ϕ′(x)，即可消除容斥原理的影響。

這樣的話，最終答案就是∑ni=1ϕ′(i)

#include<stdio.h>
#define ll long long
#define MAXN 1000005
 


int N,E[MAXN];

ll Ans,phi[MAXN],P[MAXN];
void Euler(int x)
{
    int i,j;
    phi[1]=1;
    for(i=2;i<=x;i++)
    {
        if(!phi[i])phi[i]=i-1,P[++P[0]]=i;
        for(j=1;j<=P[0]&&i*P[j]<=x;j++)
        {
            if(i%P[j]==0)
            {
                phi[i*P[j]]=phi[i]*P
 
[j];
                break;
            }
            else phi[i*P[j]]=phi[i]*phi[P[j]];
        }
    }
}

int main()
{
    int i,j;

    scanf("%d",&N);
    Euler(N);

    for(i=1;i<=P[0]&&P[i]<=N;i++)if(N%P[i]==0)E[++E[0]]=P[i];

    for(i=1;i<=N;i++)
    for(j=1;j<=E[0];j++)
    {
        if(i%E[j]==0)phi[i]=phi[i]*E[j]/(E[j]-1);
    }

    for(i=1;i<=N;i++)Ans+=phi[i];

    printf("%lld",Ans);
}