phi(大數質因數分解尤拉函式)
阿新 • • 發佈:2019-01-22
總結一下此題用的知識。。。
快速加,快速冪,素數判斷(Miller_Rabin),gcd,Pollard_Rho。。。。
這裡就寫一個Pollard_Rho
對於一個大整數n,我們取任意一個數x使得x是n的質因數的機率很小,但如果取兩個數x1以及x2使得它們的差是n的因數的機率就提高了(我也不會證明。。。。),如果取x1以及x2使得gcd(abs(x1−x2),n)>1的概率就更高了。這就是Pollard-Rho演算法的主要思想。
對於滿足gcd(abs(x1−x2),n)>1的x1和x2,gcd(abs(x1−x2),n)就是n的一個因數,只需要判斷它是否為素數,若為素數,則是n的質因數,否則遞迴此過程。
其中判斷素數就使用Miller-Rabin演算法。
那麼我們怎樣不斷取得x1和x2呢?
x1在區間[1,n]中隨機(rand)出來,而x2則由x2=(x1*x1%n+c)%n推算出來,其中c為任意給定值,事實證明,這樣就是比較優的。
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll x,y,s[19999999],num;
ll multi(ll a,ll k,ll p){
ll ans=0;
while (k){
if(k&1ll) ans=(a+ans)%p;a=(a+a)%p;k>>=1;
}
return ans;
}
ll qpow(ll a,ll k,ll p){
ll ans=1;
while(k){
if(k&1ll) ans=multi(a,ans,p);a=multi(a,a,p);k>>=1;
}
return ans;
}
bool Miller_Rabin(ll n){
if(n==2) return 1;
ll u=n-1,t=0,s=20 ;
while(!(u&1ll))
t++,u>>=1;
while(s--){
ll a=rand()%(n-1)+1;
x=qpow(a,u,n);
for(int i=1;i<=t;i++){
y=x,x=multi(x,x,n);
if(x==1&&y!=1&&y!=n-1)return 0;
}if(x!=1) return 0;
}
return 1;
}
ll gcd(ll a,ll b){
return b?gcd(b,a%b):a;
}
ll Pollard_Rho(ll n,ll c){
ll i=1,k=2,x=rand()%(n-1)+1,y=x;
while(i++){
x=(multi(x,x,n)+c)%n;
ll p=gcd(y-x,n);
if(p>1&&p<n) return p;
if(x==y) return n;
if(i==k) y=x,k<<=1;
}
}
void find(ll n,ll c){
if(n==1) return ;
if(Miller_Rabin(n)) {
s[++num]=n;return ;
}
ll p=n,k=c;
while(p==n) p=Pollard_Rho(n,c--);
find(p,k);find(n/p,k);
}
ll N;
int main(){
freopen("phi.in","r",stdin);
freopen("phi.out","w",stdout);
scanf("%lld",&N);
find(N,99999);
//for(int i=1;i<=num;i++) printf("%d ",s[i]);
int t1=unique(s+1,s+num+1)-s-1;
for(int i=1;i<=t1;i++){
N*=(s[i]-1);N/=s[i];
}
printf("%lld",N);
}