PageRank的數學模型

不同於之前的訪問量統計，PageRank 求解了這樣一個問題：一個人在網路上瀏覽網頁，每看過一個網頁之後就會隨機點選網頁上的連結訪問新的網頁。如果當前這個人瀏覽的網頁 x 已經確定，那麼網頁 x 上每個連結被點選的概率也是確定的，可以用向量 Nx 表示。在這種條件下，這個人點選了無限多次連結後，恰好停留在每個網頁上的概率分別是多少？

在這個模型中，我們用向量 Ri 來表示點選了 i 次連結之後可能停留在每個網頁上的概率（ R ₀ 則為一開始就打開了每個網頁的概率，後面我們將證明 R ₀ 的取值對最終結果沒有影響）。很顯然 R _i 的 L1 正規化為 1 ，這也是 PageRank 演算法本身的要求。

仍以上面的遊戲為例，整個瀏覽過程的一開始，我們有：

其中， A 表示每一次點選連結概率的矩陣。 A 的第 i 列第 j 行 A _{i, j} 的含義是，如果當前訪問的網頁是網頁i，那麼下一次點選連結跳轉到網頁 j 的概率為 A _{i, j} 。

這樣設計矩陣 A 的好處是，通過矩陣 A 和向量 R _n-1 相乘，即可得出點選一次連結後每個網頁可能的停留概率向量 R _n 。例如，令 R ₁ = A R ₀ ，可以得到點選一次連結後停留在每個網頁的概率：

之後一直迭代下去，有：

對於上面的例子，迭代結果如下圖：

可以看到，每個網頁停留的概率在振盪之後趨於穩定。

在這種穩定狀態下，我們可以知道，無論如何迭代，都有 R _n

而整個迭代的過程，就是在尋求方程 R = AR 的解。而無論 R ₀ 是多少，迭代無限多次之後，一定會取得令 R = AR 成立的 R 值。整個求解 R 的過程，就如同一個人在一張地圖上的不同位置之間隨機地行走一樣，所以被稱為“隨機行走模型”。

隨機行走模型有一個顯著的特點，那就是每一次迭代的結果只與前一次有關，與更早的結果完全無關。這種過程又被稱為馬爾可夫過程（ Markov Process ）或馬爾可夫鏈（ Markov Chain ）。

馬爾可夫過程的數學定義是：如果對於一個隨機變數序列 X ₀ 、 X ₁ 、 X ₂ 、…， 其中 X _n 表示時間 n 的狀態及轉移概率P，有：

即 X _n 只受 X _n-1 的影響，則此過程成為馬爾可夫過程。其中 P( X _n+1 | X _n ) 稱作“一步轉移概率”，而兩步、三步轉移概率則可以通過一步轉移概率的積分求得。

當狀態空間有限時，轉移概率可以用用一個矩陣 A 來表示，稱作轉移矩陣（ transition matrix ）。此時轉移概率的積分即為矩陣的冪，k步轉移概率可以用 A ^k 表示，這也是隨機行走模型中的情況。而對於一個正的（每個元素都為正的）轉移矩陣 A ，可以證明一定有：

這就完整解釋了為什麼 R ₀ 的取值對最終結果沒有影響。