前面所討論的線性表元素之間都是一對一的關係，今天我們所看到的結構各元素之間卻是一對多的關係。樹在計算機中有著廣泛的應用，甚至在計算機的日常使用中，也可以看到樹形結構的身影，如下圖所示的Windows資源管理器和應用程式的選單都屬於樹形結構。樹形結構是一種典型的非線性結構，除了用於表示相鄰關係外，還可以表示層次關係。本文重點討論樹與二叉樹的基本結構和遍歷演算法等內容。

一、好大一棵樹，綠色的祝福

1.1 樹的基本概念

Defination：樹（Tree）是 n（n≥0）個結點的有限集。n=0時，該樹被稱為“空樹”。如上圖所示，A點稱為根節點，它有兩棵子樹，分別以B、C為根，而以C為根的子樹又可以分成兩棵子樹。　　

1.2 樹的基本術語

　　（1）不同的節點：根節點、內部節點、葉子節點以及節點的度

（2）節點的關係：雙親與孩子，爸爸回來了，爸爸去哪兒？

　　（3）節點的層次：結點的層次（Level）從根開始定義起，根為第一層，根的孩子為第二層。樹中結點的最大層次稱為樹的深度（Depth）或高度。

二、二叉樹又是個什麼鬼

2.1 從猜數字遊戲引出二叉樹

　　回憶一下，當年某電視節目中會讓遊戲參與者猜一個產品的價格，如果參與者在限定時間內猜對了，那麼他就可以獲得這個產品。很多人都是一點點的提高數值來猜，但是這樣猜會很沒有效率。因此，很多聰明人都知道需要利用折半查詢的思想去猜測。假定某個產品在100元的範圍內，那麼可以在7次之內猜出結果來，如下圖所示：（由於是100以內的正整數，所以我們先猜50（100的一半），被告之“大了”，於是再猜25（50的一半），被告之“小了”，再猜37（25與50的中間數），小了，於是猜43，大了，40，大了，38，小了，39，完全正確。）

　　如上圖所示，對於這種在某個階段都是兩種結果的情形，比如開和關、0和1、真和假、上和下、對與錯，正面與反面等，都適合用樹狀結構來建模，而這種樹是一種很特殊的樹狀結構，叫做二叉樹。

二叉樹的特點：

①每個結點最多有兩棵子樹，所以二叉樹中不存在度大於2的結點。

②左子樹和右子樹是有順序的，次序不能任意顛倒。

③即使樹中某結點只有一棵子樹，也要區分它是左子樹還是右子樹。

2.2 二叉樹的順序儲存結構

　　二叉樹的順序儲存結構就是用一維陣列儲存二叉樹中的結點。結點的儲存位置，也就是陣列的下標要能體現結點之間的邏輯關係，比如雙親與孩子的關係，左右兄弟的關係等。

　　But，考慮一種極端的情況，一棵深度為k的右斜樹，它只有k個結點，卻需要分配2的k次方-1個儲存單元空間，這顯然是對儲存空間的浪費，所以，順序儲存結構一般只適用於完全二叉樹

2.3 二叉樹的鏈式儲存結構

　　既然順序儲存適用性不強，我們就要考慮鏈式儲存結構。二叉樹每個結點最多有兩個孩子，所以為它設計一個數據域和兩個指標域是比較自然的想法，我們稱這樣的連結串列叫做二叉連結串列。其中data是資料域，lchild和rchild都是指標域，分別存放指向左孩子和右孩子的指標。

三、二叉樹的程式碼實現

3.1 二叉樹的C#程式碼實現

　　（1）二叉樹節點的定義：

    /// <summary>
    /// 二叉樹的節點定義
    /// </summary>
    /// <typeparam name="T">資料具體型別</typeparam>
    public class Node<T>
    {
        public T data { get; set; }

        public Node<T> lchild { get; set; }

        public Node<T> rchild { get; set; }

        public Node()
        {
        }

        public Node(T data)
        {
            this.data = data;
        }

        public Node(T data, Node<T> lchild, Node<T> rchild)
        {
            this.data = data;
            this.lchild = lchild;
            this.rchild = rchild;
        }
    }

　　（2）二叉樹的建立實現：

        // Method01:判斷該二叉樹是否是空樹
        public bool IsEmpty()
        {
            return this.root == null;
        }

        // Method02:在節點p下插入左孩子節點的data
        public void InsertLeft(Node<T> p, T data)
        {
            Node<T> tempNode = new Node<T>(data);
            tempNode.lchild = p.lchild;

            p.lchild = tempNode;
        }

        // Method03:在節點p下插入右孩子節點的data
        public void InsertRight(Node<T> p, T data)
        {
            Node<T> tempNode = new Node<T>(data);
            tempNode.rchild = p.rchild;

            p.rchild = tempNode;
        }

        // Method04:刪除節點p下的左子樹
        public Node<T> RemoveLeft(Node<T> p)
        {
            if (p == null || p.lchild == null)
            {
                return null;
            }

            Node<T> tempNode = p.lchild;
            p.lchild = null;
            return tempNode;
        }

        // Method05:刪除節點p下的右子樹
        public Node<T> RemoveRight(Node<T> p)
        {
            if (p == null || p.rchild == null)
            {
                return null;
            }

            Node<T> tempNode = p.rchild;
            p.rchild = null;
            return tempNode;
        }

　　以上四個方法分別提供了新節點的插入以及移除的實現，我們可以針對某個節點進行插入左孩子有右孩子節點。

　　（3）二叉樹的遞迴遍歷：

　　首先我們通過幾張圖來看看二叉樹的三種基本遍歷：前序、中序以及後序遍歷；

　　①前序遍歷：若根節點不為空，則先訪問根節點，然後先序遍歷左子樹，最後先序遍歷右子樹；

　　②中序遍歷：若根節點不為空，則先中序遍歷左子樹，再訪問根節點，最後中序遍歷右子樹；

　　③後序遍歷：若根節點不為空，則首先後序遍歷左子樹，其次後序遍歷右子樹，最後訪問根節點；

        // Method01:前序遍歷
        public void PreOrder(Node<T> node)
        {
            if (node != null)
            {
                // 根->左->右
                Console.Write(node.data + " ");
                PreOrder(node.lchild);
                PreOrder(node.rchild);
            }
        }

        // Method02:中序遍歷
        public void MidOrder(Node<T> node)
        {
            if (node != null)
            {
                // 左->根->右
                MidOrder(node.lchild);
                Console.Write(node.data + " ");
                MidOrder(node.rchild);
            }
        }

        // Method03:後序遍歷
        public void PostOrder(Node<T> node)
        {
            if (node != null)
            {
                // 左->右->根
                PostOrder(node.lchild);
                PostOrder(node.rchild);
                Console.Write(node.data + " ");
            }
        } 

　　本次實現採用了遞迴的方式實現遍歷演算法，主要是根據二叉樹三種遍歷（前序、中序以及後序遍歷）的要求，依次輸出各個節點的元素。至於非遞迴方式的遍歷演算法以及層次遍歷演算法會在下一篇中進行介紹。

3.2 測試二叉樹的遍歷方法

　　在上面的程式碼中，我們實現了二叉樹的遞迴遍歷演算法，這裡我們通過一段簡單的測試程式碼來構造一顆二叉樹，並進行遍歷。首先，通過下圖看看我們要建立的一顆二叉樹是什麼鬼？

　　（1）測試程式碼：

        static void MyBinaryTreeBasicTest()
        {
            // 構造一顆二叉樹，根節點為"A"
            MyBinaryTree<string> bTree = new MyBinaryTree<string>("A");
            Node<string> rootNode = bTree.Root;
            // 向根節點"A"插入左孩子節點"B"和右孩子節點"C"
            bTree.InsertLeft(rootNode, "B");
            bTree.InsertRight(rootNode, "C");
            // 向節點"B"插入左孩子節點"D"和右孩子節點"E"
            Node<string> nodeB = rootNode.lchild;
            bTree.InsertLeft(nodeB, "D");
            bTree.InsertRight(nodeB, "E");
            // 向節點"C"插入右孩子節點"F"
            Node<string> nodeC = rootNode.rchild;
            bTree.InsertRight(nodeC, "F");

            // 前序遍歷
            Console.WriteLine("---------PreOrder---------");
            bTree.PreOrder(bTree.Root);
            // 中序遍歷
            Console.WriteLine();
            Console.WriteLine("---------MidOrder---------");
            bTree.MidOrder(bTree.Root);
            // 後序遍歷
            Console.WriteLine();
            Console.WriteLine("---------PostOrder---------");
            bTree.PostOrder(bTree.Root);
        }

　　（2）執行結果：

附件下載

參考資料

（1）程傑，《大話資料結構》

（2）陳廣，《資料結構（C#語言描述）》

（3）段恩澤，《資料結構（C#語言版）》

作者：周旭龍

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