前向-後向演算法例項
已知HMM模型引數：
轉移概率矩陣A：
| 0.5 | 0.2 | 0.3 |
| 0.3 | 0.5 | 0.2 |
| 0.2 | 0.3 | 0.5 |
| 0.5 | 0.5 |
| 0.4 | 0.6 |
| 0.7 | 0.3 |
π=(0.2 , 0.4 , 0.4)
求解：三次取球顏色為（紅、白、紅）的概率P(O|λ)
提示：盒子相當於三種隱狀態，兩種顏色的球相當於觀測情況，觀測序列由（紅、白、紅）給出
（1）計算初值
a1(2) 代表第一個時間下, 從第二個盒子裡取出紅球的概率
（2）遞推計算
（3）終止條件
關於後向演算法，直接以盒子（隱）和球（觀測）的例項為例推導：
（1）初始化第三次取球為紅球時候，即最終時刻所有狀態的概率為1
式中下標為觀測情況，括號為隱狀態，比如第一個式子意思就是第一個隱狀態對應的觀測到紅球的概率
（2）逆推迭代倒數第二次觀察情況為白球的情況
第一個式子表示的是第二次觀測，如果狀態為1，那麼第二、三次觀測為（白、紅）的聯合概率分佈，a是第二層隱狀態（第一個盒子）轉移到第三層隱狀態（三個盒子）的轉移概率，b表示第三層的三個隱狀態觀測到紅球的概率，β（等式右邊）表示已知模型引數和第三層隱狀態，求第三次觀測到紅球的概率，其實第（1）步計算是1
第二個式子表示的是第二次觀測，如果狀態為2，那麼第二、三次觀測為（白、紅）的聯合概率分佈，a是第二層隱狀態（第二個盒子）轉移到第三層隱狀態（三個盒子）的轉移概率，b表示第三層的三個隱狀態觀測到紅球的概率，β（等式右邊）表示已知模型引數和第三層隱狀態，求第三次觀測到紅球的概率，其實第（1）步計算是1
同理推導第一層的情況
（3）計算加和
可以發現前向演算法和後向演算法的結果相同
【注】前向演算法中計算
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