原理是newton切線法，就不用介紹了吧

package com.swu.math;
import java.math.BigDecimal;
import java.math.BigInteger;
public class Test
{
	//num是被開方數，n是開方次數,precision設定保留幾位小數
	public static String  rootN_Decimal(String num,int n,int precision)
	{
	
		BigDecimal x=new BigDecimal(new BigInteger(num).divide(new BigInteger(n+"")));
		BigDecimal x0=BigDecimal.ZERO;
		
		BigDecimal e=new BigDecimal("0.1");
		for(int i=1;i<precision;++i)
			e=e.divide(BigDecimal.TEN,i+1,BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN);
		
		BigDecimal K=new BigDecimal(num);
		BigDecimal m=new BigDecimal(n);
		
		long i=0;
		while(x.subtract(x0).abs().compareTo(e)>0)
		{
			x0=x;
			x=x.add(K.subtract(x.pow(n)).divide(m.multiply(x.pow(n-1)),precision,BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN));
			++i;
		}	
		return x+" "+i;
	}
	
	public static void main(String[] args)
	{
		BigInteger b=new BigInteger("123456789123456789123456789");
		b=b.pow(10);
		System.out.println(rootN_Decimal(b.toString(), 10, 2));

	}
}
 

123456789123456789123456789.00 5117