1079 中國剩餘定理
#include<iostream> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; int a[12]; int b[12]; int main(){ int n,maxa=0,ia,kvalue; cin>>n; for(int i=0;i<n;i++){ cin>>a[i]; cin>>b[i]; if(a[i]>maxa){ maxa=a[i]; ia=b[i]; } } for(int k=1;k<=maxa;k++){ for(int i=0;i<n;i++){ if(!(k%a[i]==b[i])){ break; } if(i==n-1){ cout<<k; return 0; } } } for(int k=1;;k++){ kvalue=k*maxa+ia; for(int i=0;i<n;i++){ if(!(kvalue%a[i]==b[i])){ break; } if(i==n-1){ cout<<kvalue; return 0; } } } return 0; }
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中國剩餘定理
在《孫子算經》中有這樣一個問題:“今有物不知其數,三三數之剩二(除以3餘2),五五數之剩三(除以5餘3),七七數之剩二(除以7餘2),問物幾何?”這個問題稱為“孫子問題”,該問題的一般解法國際上稱為“中國剩餘定理”。具體解法分三步:
-
- 找出三個數:從3和5的公倍數中找出被7除餘1的最小數15,從3和7的公倍數中找出被5除餘1 的最小數21,最後從5和7的公倍數中找出除3餘1的最小數70。
- 用15乘以2(2為最終結果除以7的餘數),用21乘以3(3為最終結果除以5的餘數),同理,用70乘以2(2為最終結果除以3的餘數),然後把三個乘積相加15∗2+21∗3+70∗215∗2+21∗3+70∗2得到和233。
- 用233除以3,5,7三個數的最小公倍數105,得到餘數23,即233%105=23233%105=23。這個餘數23就是符合條件的最小數。
就這麼簡單。我們在感嘆神奇的同時不禁想知道古人是如何想到這個方法的,有什麼基本的數學依據嗎?
我們將“孫子問題”拆分成幾個簡單的小問題,從零開始,試圖揣測古人是如何推匯出這個解法的。
首先,我們假設n1n1是滿足除以3餘2的一個數,比如2,5,8等等,也就是滿足3∗k+2(k>=0)3∗k+2(k>=0)的一個任意數。同樣,我們假設n2n2是滿足除以5餘3的一個數,n3n3是滿足除以7餘2的一個數。
有了前面的假設,我們先從n1n1這個角度出發,已知n1n1滿足除以3餘2,能不能使得n1+n2n1+n2的和仍然滿足除以3餘2?進而使得n1+n2+n3n1+n2+n3的和仍然滿足除以3餘2?
這就牽涉到一個最基本數學定理,如果有a%b=ca%b=c,則有(a+k∗b)%b=c(k為非零整數)(a+k∗b)%b=c(k為非零整數),換句話說,如果一個除法運算的餘數為cc,那麼被除數與kk倍的除數相加(或相減)的和(差)再與除數相除,餘數不變。這個是很好證明的。
以此定理為依據,如果n2n2是3的倍數,n1+n2n1+n2就依然滿足除以3餘2。同理,如果n3n3也是3的倍數,那麼n1+n2+n3n1+n2+n3的和就滿足除以3餘2。這是從n1n1的角度考慮的,再從n2n2,n3n3的角度出發,我們可推匯出以下三點:
-
- 為使n1+n2+n3n1+n2+n3的和滿足除以3餘2,n2n2和n3n3必須是3的倍數。
- 為使n1+n2+n3n1+n2+n3的和滿足除以5餘3,n1n1和n3n3必須是5的倍數。
- 為使n1+n2+n3n1+n2+n3的和滿足除以7餘2,n1n1和n2n2必須是7的倍數。
因此,為使n1+n2+n3n1+n2+n3的和作為“孫子問題”的一個最終解,需滿足:
-
- n1n1除以3餘2,且是5和7的公倍數。
- n2n2除以5餘3,且是3和7的公倍數。
- n3n3除以7餘2,且是3和5的公倍數。
所以,孫子問題解法的本質是從5和7的公倍數中找一個除以3餘2的數n1n1,從3和7的公倍數中找一個除以5餘3的數n2n2,從3和5的公倍數中找一個除以7餘2的數n3n3,再將三個數相加得到解。在求n1n1,n2n2,n3n3時又用了一個小技巧,以n1n1為例,並非從5和7的公倍數中直接找一個除以3餘2的數,而是先找一個除以3餘1的數,再乘以2。也就是先求出5和7的公倍數模3下的逆元,再用逆元去乘餘數。
這裡又有一個數學公式,如果a%b=ca%b=c,那麼(a∗k)%b=a%b+a%b+…+a%b=c+c+…+c=k∗c(k>0)(a∗k)%b=a%b+a%b+…+a%b=c+c+…+c=k∗c(k>0),也就是說,如果一個除法的餘數為cc,那麼被除數的kk倍與除數相除的餘數為k∗ck∗c。展開式中已證明。
最後,我們還要清楚一點,n1+n2+n3n1+n2+n3只是問題的一個解,並不是最小的解。如何得到最小解?我們只需要從中最大限度的減掉掉3,5,7的公倍數105即可。道理就是前面講過的定理“如果a%b=ca%b=c,則有(a−k∗b)%b=c(a−k∗b)%b=c”。所以(n1+n2+n3)%105(n1+n2+n3)%105就是最終的最小解。
#include <stdio.h>
int main(int argc, const char * argv[])
{
int N, i = 0, j = 0;
int P[11], M[11];
long long sum = 0, K, acc = 1;
scanf("%d", &N);
for (; i < N; i++)
{
scanf("%d %d", P + i, M + i);
acc *= P[i];
}
for (i = 0; i < N; i++)
{
for (j = 1; j < 100000; j++)
{
if (acc / P[i] * j % P[i] == 1)
{
sum += acc / P[i] * j * M[i];
break;
}
}
}
K = sum % acc;
printf("%lld\n", K);
return 0;
}
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