51 Nod 1079 中國剩餘定理(孫子定理)
阿新 • • 發佈:2018-12-20
1079 中國剩餘定理
一個正整數K,給出K Mod 一些質數的結果,求符合條件的最小的K。例如,K % 2 = 1, K % 3 = 2, K % 5 = 3。符合條件的最小的K = 23。
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輸入
第1行:1個數N表示後面輸入的質數及模的數量。(2 <= N <= 10) 第2 - N + 1行,每行2個數P和M,中間用空格分隔,P是質數,M是K % P的結果。(2 <= P <= 100, 0 <= K < P)
輸出
輸出符合條件的最小的K。資料中所有K均小於10^9。
輸入樣例
3 2 1 3 2 5 3
輸出樣例
23
孫子定理
例:求符合kk%a=2,kk%b=3,kk%c=5的最小kk.
ans=bc*i+ac*j+ab*k;
以a為例:ans%a=bc*i%a=2(另外兩個都是a的倍數)
(bc*x)%a=1;//bc*x=a*y+1拓展歐幾里得定理求解
2%a=2;
bc*i%a=(bc*x)*2%a=2;//乘數之餘等於餘數之乘
則ans=(bc*x1)*2+(ac*x2)*3+(ab*x3)*5; 解kk=ans%(abc);
#include<iostream> #define ll long long using namespace std; ll a[13],b[13]; void exgcd(ll m,ll n,ll &x,ll &y) { if(!n){ x=1;y=0; return ; } exgcd(n,m%n,x,y); ll tmp=x; x=y;//x=y2 y=tmp-(m/n)*y;//y1=x2-(m/n)*y2 } int main() { int n; ll sum=1; scanf("%d",&n); for(int i=0;i<n;i++) scanf("%lld%lld",&a[i],&b[i]),sum*=a[i]; ll ans=0; for(int i=0;i<n;i++){ ll x,y; ll m=sum/a[i]; exgcd(m,a[i],x,y);//m*x=a[i]*y+1; ans=(ans+m*b[i]*x)%sum; } if(ans<0) ans+=sum; printf("%lld\n",ans%sum); return 0; }