Algorithm之PrA：PrA之IP整數規劃演算法經典案例剖析+Matlab程式設計實現

分枝定界法

      對有約束條件的最優化問題（其可行解為有限數）的所有可行解空間恰當地進行系統搜尋，這就是分枝與定界內容。通常，把全部可行解空間反覆地分割為越來越小的子集，稱為分枝；並且對每個子集內的解集計算一個目標下界（對於最小值問題），這稱為定界。在每次分枝後，凡是界限超出已知可行解集目標值的那些子集不再進一步分枝，這樣，許多子集可不予考慮，這稱剪枝。這就是分枝定界法的主要思路。
     分枝定界法可用於解純整數或混合的整數規劃問題。在本世紀六十年代初由 LandDoig 和Dakin 等人提出的。由於這方法靈活且便於用計算機求解，所以現在它已是解整數規劃的重要方法。目前已成功地應用於求解生產進度問題、旅行推銷員問題、工廠選址問題、揹包問題及分配問題等。

基本思想：設有最大化的整數規劃問題 A ，與它相應的線性規劃為問題B ，從解問題B 開始，若其最優解不符合 A的整數條件，那麼B的最優目標函式必是 A的最優目標函式z*的上界，記作z上 ；而 A的任意可行解的目標函式值將是z*的一個下界z下。分枝定界法就是將B的可行域分成子區域的方法。逐步減小z 上和增大z下 ，最終求到z*。

整數規劃例題

       用分枝定界法求解整數規劃（最大化）問題的步驟為：首先，將要求解的整數規劃問題稱為問題 A ，將與它相應的線性規劃問題稱為問題B 。

1、求解下述整數規劃

(1)、先利用LP思路求出最優解

(2)、利用IP思路分析解，先對x1進行分枝、定界

(3)、先對B1進行分枝、定界

(4)、還要對B2進行分枝、定界

0-1整數規劃例項

1、投資場所的選定——相互排斥的計劃

解：解題時先引入0 −1變數xi，並進行問題轉換

2、引入0 −1變數y，來解決相互排斥的約束條件

3、擴充套件：利用0-1變數來解決m 個互相排斥的約束條件
    如果有m 個互相排斥的約束條件

4、關於固定費用的問題（Fixed Cost Problem）

       某工廠為了生產某種產品，有幾種不同的生產方式可供選擇，如選定的生產方式投資高（選購自動化程度高的裝置），由於產量大，因而分配到每件產品的變動成本就降低；反之，如選定的生產方式投資低，將來分配到每件產品的變動成本可能增加。所以必須全面考慮。今設有三種方式可供選擇，令

5、舉例說明一種解0 −1型整數規劃的隱列舉法

6、蒙特卡洛法求解非線性整數規劃

(1)、首先編寫M 檔案mente.m 定義目標函式f 和約束向量函式g，程式如下

function [f,g]=mengte(x);
f=x(1)^2+x(2)^2+3*x(3)^2+4*x(4)^2+2*x(5)-8*x(1)-2*x(2)-3*x(3)-...
x(4)-2*x(5);
g=[sum(x)-400
x(1)+2*x(2)+2*x(3)+x(4)+6*x(5)-800
2*x(1)+x(2)+6*x(3)-200
x(3)+x(4)+5*x(5)-200];

(2)、編寫M檔案mainint.m如下求問題的解

rand('state',sum(clock));
p0=0;
tic
for i=1:10^6
    x=99*rand(5,1);
x1=floor(x);x2=ceil(x);
[f,g]=mengte(x1);
if sum(g<=0)==4
    if p0<=f
        x0=x1;p0=f;
    end
end
[f,g]=mengte(x2);
if sum(g<=0)==4
    if p0<=f
        x0=x2;p0=f;
    end
end
end
x0,p0
toc

7、Matlab求解指派問題等0 −1整數規劃問題

解：編寫 Matlab 程式如下：

c=[3 8 2 10 3;8 7 2 9 7;6 4 2 7 5
    8 4 2 3 5;9 10 6 9 10];
c=c(:);
a=zeros(10,25);
for i=1:5
    a(i,(i-1)*5+1:5*i)=1;
    a(5+i,i:5:25)=1;
end
b=ones(10,1);
[x,y]=bintprog(c,[],[],a,b);
x=reshape(x,[5,5]),y