影象平滑是計算攝影學一門基礎重要的工具，其作用是拂去不重要的細節，保留較大的影象邊緣，主要應用於邊緣檢測，JPEG壓縮影象人工偽跡去除，非真實繪製等領域。

影象平滑大體上可以分為兩類：基於區域性和基於全域性方法，基於區域性的方法像有名雙邊濾波，各向異性擴散，將影象分成一些區域性塊進行處理；全域性方法比如全變分（Total Variation）和最小二乘濾波(Weighted Least Square)，同時處理整幅影象，可以達到全域性最優的目的。
以往的方法，拂去影象中去對影象細節部分也會對影象中大的邊緣進行懲罰，這樣也會導致影象中大的邊緣減弱或丟失，因此徐立等人提出使用影象L0範數平滑，該濾波器是一種基於稀疏策略的全域性平滑濾波器。
本文是對香港中文大學徐立等人所做的《Image Smoothing via L0 Gradient Minimization》的讀後筆錄，也可以看成是論文的翻譯吧。使用影象梯度L0範數平滑影象，具有以下優點：

• 通過去除小的非零梯度，撫平不重要的細節資訊
• 增強影象顯著性邊緣

影象梯度L0範數最小化

L0範數可以理解為向量中非零元素的個數。
影象梯度L0範數可以如下表示

c(f):=#{p|∣∣fp−fp−1∣∣≠0}
這裡p和p+1是影象中相鄰元素，|fp−fp−1|就是影象梯度，也即影象的前向差分，#{}表示計數，輸出影象中滿足|fp−fp−1|≠0的個數，即c(f)是影象梯度的L0範數。這樣表示有一個優點，就是c(f)是非零梯度個數的函式，與影象的梯度本身無關，也就是
#{p|∣∣fp−fp−1∣∣≠0}=#{p|∣∣α(fp−fp−1)∣∣≠0}
這還不是我們的目標函式，只是一個約束條件。

影象梯度最小化平滑

一維訊號

先以一維訊號為例，輸入訊號g

，輸出訊號f，那麼我們的目標函式可以如下表示：

minf∑p(fp−gp)2s.t.c(f)=k
左邊使得輸入訊號與輸出訊號儘可能接近，右邊非零約束梯度個數為k。下圖依次是k=1,k=2,k=5,k=200時恢復的訊號。

實際上，k的取值變化範圍很大，特別是對於二維影象來說。將上式子轉換成無約束問題
minf∑p(fp−gp)2+λ⋅c(f)
這裡λ是一個權重控制兩者之間的比重，實際上它是一個平滑引數，當其值越大越平滑。影象中非零梯度個數與1λ呈單調遞增關係。
從下圖中可以看到梯度L0範數的優點，即訊號的尖銳部分沒有被減弱。

二維影象

二維影象中，我們需要約束影象水平和垂直方向的梯度數目，形式上如下

minf∑p(fp−gp)2+λ⋅c(∂xf,∂yf)
c(∂xf,∂yf)=#{p|∣∣∂xfp∣∣+∣∣∂yfp∣∣≠0}
由於L0範數不可導，全域性最優問題是一個NP難問題，所以這裡使用變數分裂法，鬆弛為兩個二次規劃問題，每個問題都有其閉式解（closed-form）(因為二次函式都可以求導，得到其最小值)。
minf∑p(fp−gp)2+λ⋅c(∂xf,∂yf)+β⋅∑p((∂xfp−hp)

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