線性代數筆記22——特徵值和特徵向量
特徵向量
函式通常作用在數字上，比如函式f作用在x上，結果得到了f(x)。線上性代數中，我們將x擴充套件到多維，對於Ax來說，矩陣A的作用就像一個函式，輸入一個向量x，通過A的作用，得到向量Ax。對多數向量x而言，經過Ax的轉換後將得到不同方向的向量，但總有一些特殊的向量，它的方向和Ax方向相同，即Ax平行於x，這些特殊的向量就是特徵向量。
平行的向量用方程來表示比較簡單：
其中A是方陣，x≠0。λ是一個係數，被稱為特徵係數或特徵值；x和λx平行，方程的解x就是A的特徵向量。
這裡需要對“方向相同”做出一些特殊的解釋，它也包括正好相反的方向和無方向，所以λ的值可以取0或負數。
求解特徵向量
現在的問題是，給定矩陣A，如果求解A的特徵向量？這裡沒有Ax = b這樣的方程，只有Ax=λx，其中λ和x都是未知數，如何求解呢？在解釋之前，先看看投影矩陣的特徵向量。
投影矩陣的特徵向量
假設有個一個平面，給定投影矩陣P，投影矩陣的特徵向量有哪些？特徵值又是什麼？
這實際上是在回答那些向量的投影和向量本身平行，像下面這樣隨意投影肯定不行：
x在平面的投影是Px，二者的方向不相同，因此圖中的x不是P的特徵向量。
如果x正好在平面上，那麼它的投影就是x本身，所以位於平面上的所有向量都是P的特徵向量，此時特徵值λ=1，Px=x。此外，垂直於平面的向量在平面上的投影是零向量，即Px = 0 = 0x，這相當於特徵值λ=0，所以垂直於平面的向量也是P的特徵向量。
矩陣的跡
再看一個特例：
A乘以什麼樣的向量將得到一個同方向的向量？即A的特徵值和特徵向量是什麼？
很容易看出：
A還有其它的特徵值：
上面的答案符合兩個關於特徵值的性質：
- n×n矩陣有n個特徵值。
- 矩陣的所有特徵值之和等於該矩陣的主對角線元素之和，這個和數叫做A的跡。
特徵方程
現在到了面對Ax=λx的時候，弄清楚如何求解λ和x。
解決的方法是將λx移到等式左側：
更進一步，可以利用λx = λIx將λ向量化，變成：
複習一下零空間，對於Ax = 0來說，如果A的各列是線性無關的，意味著方程組只有一個全零解。把這句話放到新方程中，如果(A-λI) 的各列是線性無關的，意味著只有一個解，x=0。但是特徵向量不能是零向量，所以需要新方程還有其它解，這意味著(A-λI) 的各列是線性相關的，即A-λI是一個奇異矩陣。由於奇異矩陣的行列式是0，因此可以得到結論：
這就沒x什麼事了，得到了一個關於λ的方程，該方程叫做特徵方程或特徵值方程。可以根據特徵方程先求解出λ，當然，對於n階方陣會求出n個λ。知道λ後就容易多了，把每個λ代入(A-λI)x=0，然後找出它的零空間。（關於零空間，可參考《線性代數筆記12——列空間和零空間》）
來看一個示例：
先求解A的特徵值：
A的跡是所有特徵值之和，它等於主對角線元素之和，這可以用來作為特徵值求解的初步驗證。接下來求解每個特徵值對應的特徵向量：
容易判斷零空間的基是：
這也是特徵值λ1對應的特徵向量，實際上零空間中的所有向量都是λ1對應的特徵向量。
用同樣的方法求出λ2對應的特徵向量：
複數特徵值
值得注意的是，特徵值未必是實數，比如下面的矩陣：
此時特徵值是複數，λ=±i
綜合示例
召喚一個矩陣A：
找出A，A2，A-1的特徵值和特徵向量。
先看簡單的，求解A的特徵值比較容易：
第一列中有兩個0，所以將這個行列式以第一列展開：
三個特徵值之和等於A的主對角元素之和。
接下來求解特徵值：
方程的一組解就是特徵向量：
接下來求出另外兩個特徵向量：
找出對應的零空間，先化簡為行階梯矩陣：
當x3 = 1時，將得到一組特徵向量：
繼續計算λ3的特徵向量：
當x3 = 1時，將得到一組特徵向量：
接下來計算A2的特徵值，這將是個浩大的工程，我們更想讓它變得容易一點，已知Ax=λx，現在將A再左乘一個A變成A2：
等式的源頭是Ax=λx，假設x是已知的，它已經被求得，因此這個式子告訴我們，如果已知A的特徵向量，那麼它也是A2的特徵向量，只不過特徵值換成了λ2。
類似地，A-1x也可以做一些演變：
A-1的特徵值就是1/λ，，它的特徵值和A的特徵值相同。
作者：我是8位的
出處：http://www.cnblogs.com/bigmonkey
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