母函式的分析

    母函式的原理數，後生之輩沒啥可講的。完全可以站在巨人的肩膀上。下面給出杭電科技大學的課程連結，不懂得就自己去獲取基礎知識點吧。Click Here~

    個人學了一些有關母函式的知識，經過本人的總結。個人覺得大體上解體策略可以分為動態規劃及遞迴型和母函式求解型。而其中動態規劃及遞迴的主要是運用與有關整數劃分的問題。而整數劃分又分很多種情況。下面給出哈工大學大牛寫的部落格連結自己可以去看看Click Here~，而母函式的問題就是上面給出的杭大的連結。下面就給出每種情況的問題詳解吧。

   而使用模板的時候還要注意題目的限定條件。如果，題目是要求把一個數或物品必須分成k份，則此時就要用到dp思想的運用。即，dp[k][n] = dp[k][n-k] + dp[k-1][n-1] (n>=k)。而當題目中說明可以把一個數或者物品分成任意的份數，則此事可以用到遞迴的模板。

整數劃分模板：

typedef long long LL;
LL GetPartitation(int n,int m) //n表示要劃分的整數，m表示序列中最大不大於m
{
    if(n==0||m==0||n==1||m==1) //根據題目變化，自己靈活設定
      return 1;
    else if(n < m)
      return GetPartitation(n,n);
    else if(n == m)
      return GetPartitation(n,n-1) + 1;
    else
      return GetPartitation(n,m-1) + GetPartitation(n-m,m);
}
 

   我在根據本人自己對上面模板的理解告訴大家吧！我感覺這種方式比網上解釋的更容易記憶。

          if(n==0||m==0||n==1||m==1) //根據題目變化，自己靈活設定     

              return 1; 

         else if(n < m)     //這個是顯然的序列中最大的，肯定是不可能大於n的

             return GetPartitation(n,n);   

        else if(n == m)   //當序列中最大數是n==m時候，顯然此時只可能只有一個n，然後遞迴比m小下一個數

            return GetPartitation(n,n-1) + 1;  

        else //其中前部分是表示遞迴比m小的下一個數，後面一部份是表示可以與m組合成n的組合數有幾個    

             return GetPartitation(n,m-1) + GetPartitation(n-m,m);

動態規劃DP模版：

for(int i = 1;i < N;++i)  //初始化
   dp[1][i] = dp[i][i] = dp[0][i] = 1;
for(int i = 2;i < N;++i)  
  for(int j = i+1;j < N;++j){  //自己看上面哈工大連結的解釋
     dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i][j-i];
  }

整數的劃分在北大上有兩題簡單的入門題，

一題是放蘋果題（運用上面的遞迴模板就可以解決）

二是Click Here~（是動態規劃思想解決的問題）是整數劃分中的第二類，即劃分n是數量固定的k個數。

轉移方程式：

dp[k][n] = dp[k][n-k] + dp[k-1][n-1];

母函式的模板：

流行版：

for(i = 0;i <= n;++i){
    c1[i] = 1; c2[i] = 0;
} 
for(i = 2;i <= n;++i){      //有多少個可以組合的資料種類
   for(j = 0;j <= P;++j){   //前一個括號中有多少項
      for(k = 0;k+j <= P;k += i){  //當前的括號數的指數最大可以達到的數值
         c2[k+j] += c1[j];
      }        
    }
    for(j = 0;j <= n;++j){  
       c1[j] = c2[j];  
       c2[j] = 0; 
    }
}
/* P為資料中可能的最大指數
   k+j<=P最大指數不超P
*/

改版版：

a[MAX],b[MAX];     //a為結果，b為中間結果
memset(a,0,sizeof(a));
a[0] = 1;
for(i = 1;i <= N;++i){
  memset(b,0,sizeof(b));
  for(j = min[i];(j<=max[i])&&j*v[i]<=P;++j){ //迴圈每個因子裡的每一項
     for(k = 0;k+j*v[i]<=P;++k){              //迴圈a的每一個項
        b[k+j] += a[k];
     }
  }
  memcpy(a,b,sizeof(b));                   //b賦值給a
}

/*一、P是可能的最大指數。
  二、如果max是無窮，那麼第二層迴圈條件j <= max[i]可以省掉
*/

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 300+5;
int c1[N],c2[N];
int main()
{
    int n,i,j,k;
    while(cin>>n,n)
    {
        for(i = 0;i <= n;++i){
           c1[i] = 1;
           c2[i] = 0;
        }
        for(i = 2;i <= 17;++i){   //這裡改變了一點  
            for(j = 0;j <= n;++j){   
               for(k = 0;k+j <= n;k += i*i){  //這裡要根據題目要求變
                  c2[k+j] += c1[j];
               }
            }
            for(j = 0;j <= n;++j){
               c1[j] = c2[j];
               c2[j] = 0;
            }
        }
        cout<<c1[n]<<endl;
    }
    return 0;
}

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 1e6 + 5;
int c1[N],c2[N];
int main()
{
    int n,m,k;
    while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&k),(n||m||k))
    {
        int sum = n + 2*m + 5*k;
        memset(c1,0,sizeof(c1));
        memset(c2,0,sizeof(c2));
        for(int i = 0;i <= n;++i){ //1 coin
          c1[i] = 1;
        }
        for(int i = 0;i <= n;++i){   //2 coin
          for(int j = 0;j <= 2*m;j += 2){
             c2[i+j] += c1[i];
          }
        }
        for(int i = 0;i <= sum;++i){
           c1[i] = c2[i];
           c2[i] = 0;
        }
        for(int i = 0;i <= n+2*m;++i){ //5 coin
          for(int j = 0;j <= 5*k;j += 5){
             c2[i+j] += c1[i];
          }
        }
        for(int i = 0;i <= sum;++i){
           c1[i] = c2[i];
           c2[i] = 0;
        }
        int i;
        for(i = 0;i <= sum;++i){
           if(!c1[i]){
              printf("%d\n",i);
              break;
           }
        }
        if(i == sum+1){
           printf("%d\n",sum+1);
        }
    }
    return 0;
}

題意分析：

      給你N個不同價值，不同數量的東西。叫你找出使這些物品可以達到最大的平均值。

思路分析：

      原先我開始做的時候是用了一個結構體儲存資料，然後給價值排序，但是後來TEL了。後來我看了別人的程式碼發現都不用排序。不知道為什麼。其實，這道題可以用揹包來做，我很早就見過，但是當時沒做出來，最近在學母函式，於是就把它A了。就是一個簡單的母函式模板題。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 1e6 + 5;
int c1[N],c2[N],val[N],num[N];
int main()
{
    int n,i,j,k;
    while(scanf("%d",&n),(n>=0))
    {
//        int sum = 0;
        for(i = 1;i <= n;++i){
           scanf("%d%d",&val[i],&num[i]);
//           sum += val[i]*num[i];
        }
        memset(c1,0,sizeof(c1));
        memset(c2,0,sizeof(c2));
        for(i = 0;i <= val[1]*num[1];i += val[1]){
           c1[i] = 1;
        }
        int m = val[1]*num[1];
        for(i = 2;i <= n;++i){
          for(j = 0;j <= m;++j){
             for(k = 0;k <= val[i]*num[i];k += val[i]){
                c2[k+j] += c1[j];
             }
          }
          m += val[i]*num[i];
          for(j = 0;j <= m;++j){
             c1[j] = c2[j];
             c2[j] = 0;
          }
        }
        int mid = m/2;
        while(!c1[mid]) mid++;
        int two = m - mid;
        if(two > mid) swap(two,mid);
        printf("%d %d\n",mid,two);
    }
    return 0;
}

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 1e3 + 5;
int c1[N],c2[N],n1[N],n2[N];
int main()
{
    int n,m,i,j,k;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        for(i = 0;i < n;++i)
          scanf("%d%d",&n1[i],&n2[i]);
        memset(c1,0,sizeof(c1));
        for(i = n1[0];i <= n2[0];++i){
           c1[i] = 1;
        }
        for(i = 1;i < n;++i){
          memset(c2,0,sizeof(c2));
          for(j = 0;j <= m;++j){
             for(k = n1[i];k <= n2[i];++k){
                c2[j+k] += c1[j];
             }
          }
          memcpy(c1,c2,sizeof(c2));
        }
        printf("%d\n",c1[m]);
    }
    return 0;
}

題目分析：

     給你字母數量從A ~ B的個數，要求你求出在這些給出的字母個數中可以得到的組合數的總和不小於50的個數。昨天，就看到這題了，一開始居然沒想明白，好吧，我承認，我SB了。經過多次的看題後才發現了，就是一個母函式的模板題。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 100;
const int P = 50;
int c1[N],c2[N],a[N];
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        memset(c1,0,sizeof(c1));
        for(int i= 1;i <= 26;i++)
          scanf("%d",&a[i]);
        for(int i = 0;i <= a[1];++i){
           c1[i] = 1;
        }
        for(int i = 2;i <= 26;++i){
           memset(c2,0,sizeof(c2));
           for(int j = 0;j <= P;++j){
             for(int k = 0;(k+j<=P)&&(k <= a[i]*i);k += i){
                c2[k+j] += c1[j];
             }
           }
           memcpy(c1,c2,sizeof(c2));
        }
        int ans = 0;
        for(int i = 1;i <= P;++i){
           ans += c1[i];
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}