卡特蘭數通項公式(母函式,牛頓展開)
組合意義非常顯然,經典的路徑問題。這裡主要討論母函式以及牛頓展開的證明。
考慮卡特蘭數的遞推式,發現這是一個卷積式
組合意義非常顯然,經典的路徑問題。這裡主要討論母函式以及牛頓展開的證明。
考慮卡特蘭數的遞推式,發現這是一個卷積式 令
f
(
解法1:
可以把這個問題描述為一個二元組表示進棧出棧的狀態,(n,
0) 表示有n個元素等待進棧, 0 個元素已進棧,這相當於問題最初的狀況. 接著問題轉化為(n-1,1). 可以這麼說(n,0) = (n-1,1). 而對於(n-1,1)則相當於(n-1,0)+(n-
題目:N個數依次入棧,出棧順序有多少種?
首先介紹一下卡特蘭數:卡特蘭數前幾項為 :
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35
母函式。。
#include"stdio.h"
#include"string.h"
int main()
{
int a[10008];
int b[10008];
in cut res ras sam eof cpp ont des tel 題目代號:HDU 1134
題目鏈接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1134
Game of Connections
Time Limit: 200 spl 狀態 ans 補集 方便 常用 括號 inf 不存在 ---下面都是學習的筆記,還沒有整理,比較淩亂,有需自取吧。---
【排列組合】
<加法原理>做一件事情有n個方法,第i個方法有pi種方案,則一共有p1+p2+...+pn種方案。
<乘法原理& n-1 映射 點分治 blog -s 方法 .org div n-k Catalan數列:1 1 1 2 5 14 42 132 429 1430 4862 16796
【計數映射思想】
參考:卡特蘭數 — 計數的映射方法的偉大勝利
計數映射:將難以統計的數映射為另一種形式 面試 誤區 樹的定義 節點 類型 基礎 更多 大於等於 證明 這是一道阿裏的面試題。其實算不上新鮮,但是我之前沒關註過,如今碰到了,就順便探討下這個問題吧:)
拿到這個題,首先想到的是直接寫出表達式肯定不行,所以有必要從遞推入手。由特殊到一般,歸納法麽~而且二叉樹離不開遞推
題幹:
This is a small but ancient game. You are supposed to write down the numbers 1, 2, 3, ... , 2n - 1, 2n consecutively in clockwise order on the
公式一
C
2
文章目錄
1.棧與卡特蘭數的關係
2.卡特蘭數
3.擴充套件
4.相關題目
1.棧與卡特蘭數的關係
棧是計算機中經典的資料結構,我們也會遇到一個常見的問題:一共有多少種合法的出棧順序?
先說一下什麼是合法的出棧序列, 凡是
51nod 1120 機器人走方格 V3
卡特蘭數介紹
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespac 點此看題面
大致題意: 問你一棵\(n\)個節點的有根二叉樹葉節點的期望個數。
大致思路
看到期望,比較顯然可以想到設\(num_i\)為\(i\)個節點的二叉樹個數,\(tot_i\)為所有\(i\)個節點的二叉樹的葉節點總數。
則答案顯然為\(\frac{tot_i}{num_i}\)。
而 type define 是我 () fir 麻煩 first src space 這是我做題史上摔得最慘的一道黃題,15條記錄轉眼化為淚水。o(╥﹏╥)o
這道題目從10.12開始嘗試,隨機跳題跳到了這題,一看就是卡特蘭數,因為樣例太像了。。
然後小心證明
這個就
Game of Connections
Description
This is a small but ancient game. You are supposed to write down the numbers 1, 2, 3, ... , 2n - 1, 2n
Description
This is a small but ancient game. You are supposed to write down the numbers 1, 2, 3, .
1. 卡特蘭數是什麼
卡塔蘭數是組合數學中一個常在各種計數問題中出現的數列。
公式為 :
前幾項為 (n=0,1,2,3,4,5時): 1, 1, 2, 5, 14, 42
https://www.luogu.org/problemnew/show/P1044
題目背景
棧是計算機中經典的資料結構,簡單的說,棧就是限制在一端進行插入刪除操作的線性表。
棧有兩種最重要的操作,即pop(從棧頂彈出一個元素)和push(將一個元素進棧)。
棧的重要性不言自
在程式設計之美上又看到卡特蘭數的題目,所以就把這類題目做個總結。
至此,已經遇到過得卡特蘭數的題目有:
1、12個高矮不同的人,排成兩排,每排必須是從矮到高排列,而且第二排比對應的第一排的人高,問排列方式有多少種?
解答:12個高矮不同,則可以編號1 2 3 4 5 6 7
買票問題:一張票5元,有8個人有5元,8個人有10元,開始售票員沒有錢,每人買一張票,求不發生售票員找不開錢的情況有多少種?
也是卡特蘭數的變形,把有5元的看成1,10元的看成0,等價於n個1,n個0組成的2n為二進位制數,從左往右,1的個數>=0的個數。
令
f(x)為卡特蘭數的生成函式
可以將遞推式表示為
f(x)=x∗f(x)2+1
解得
f(x)=2x1±1−4x
±號怎麼取?
考慮
x=0的時候,取正號顯然不合法(卡特蘭數第一項)
故卡特蘭數的生成函式為
f(x)=2x1−1−4x
將
1−4x
用牛頓二項式展開
(1−4x)21=k=0∑∞(k21)(−4x)k
考慮把
(k21)展開
(k21)=k!(21)(−21)(−23)...(23−k)=2k∗k!(−1)ki=1∏k(2i−3)i=1∏k(2i−3)=(−1)∗1∗3∗5∗...∗(2k−3)=2∗4∗6∗...(2k−2)(−1)∗(2k−2)!=2k−1∗(k−1)!(−1)∗(2k−2)!
帶入原式,得到(這裡忽略了
k=0的邊界)
1−k=1∑∞22k−1∗k!∗(k−1)!(−1)k−1(2k−2)!(−4x)k=
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