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卡特蘭數通項公式(母函式,牛頓展開)

組合意義非常顯然,經典的路徑問題。這裡主要討論母函式以及牛頓展開的證明。

考慮卡特蘭數的遞推式,發現這是一個卷積式
f ( x ) f(x) 為卡特蘭數的生成函式
可以將遞推式表示為
f

( x ) = x f ( x )
2
+ 1 f(x)=x*f(x)^2+1
解得
f ( x
) = 1 ± 1 4 x 2 x f(x)=\frac{1\pm\sqrt{1-4x}}{2x}

± \pm 號怎麼取?
考慮 x = 0 x=0 的時候,取正號顯然不合法(卡特蘭數第一項)
故卡特蘭數的生成函式為
f ( x ) = 1 1 4 x 2 x f(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}
1 4 x \sqrt{1-4x} 用牛頓二項式展開
( 1 4 x ) 1 2 = k = 0 ( 1 2 k ) ( 4 x ) k (1-4x)^{\frac{1}{2}}=\sum_{k=0}^\infty{\frac{1}{2} \choose k}(-4x)^k
考慮把 ( 1 2 k ) {\frac{1}{2} \choose k} 展開
( 1 2 k ) = ( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 3 2 ) . . . ( 3 2 k ) k ! = ( 1 ) k 2 k k ! i = 1 k ( 2 i 3 ) i = 1 k ( 2 i 3 ) = ( 1 ) 1 3 5 . . . ( 2 k 3 ) = ( 1 ) ( 2 k 2 ) ! 2 4 6 . . . ( 2 k 2 ) = ( 1 ) ( 2 k 2 ) ! 2 k 1 ( k 1 ) ! {\frac{1}{2} \choose k} = \frac{(\frac{1}{2})(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})...(\frac{3}{2}-k)}{k!}\\ =\frac{(-1)^{k}}{2^k*k!}\prod_{i=1}^k(2i-3)\\ \prod_{i=1}^k(2i-3)=(-1)*1*3*5*...*(2k-3)\\ =\frac{(-1)*(2k-2)!}{2*4*6*...(2k-2)} =\frac{(-1)*(2k-2)!}{2^{k-1}*(k-1)!}
帶入原式,得到(這裡忽略了 k = 0 k=0 的邊界)
1 k = 1 ( 1 ) k 1 ( 2 k 2 ) ! ( 4 x ) k 2 2 k 1 k ! ( k 1 ) ! = k = 1 2 ( 2 k 2 ) ! k ! ( k 1 ) ! x k = k = 1 2 k ( 2 k 2 k 1 ) x k 1-\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}(2k-2)!(-4x)^k}{2^{2k-1}*k!*(k-1)!}\\ =\sum_{k=1}^\infty \frac{2*(2k-2)!}{k!(k-1)!}x^k\\ =\sum_{k=1}^\infty\frac{2}{k}{2k-2 \choose k-1}x^k