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歐幾里德演算法複雜度分析

歐幾里得演算法

function Euclid(a; b)
1: if b = 0 then
2: return a;
3: end if
4: return Euclid(b; a mod b);

複雜度分析:
a>=b,則有amodb<a2
證明:
假設 a=bq+r,其中 q>=1,且0<=r<b,
則有:
r=abq<b
因此:
a<b+bq 即 ==> a<b(1+

q)
於是:
11+q×a<b

==> a1+qb<0
==>aq1+qbq<0
==>aq1+q+a1+qbq<a1+q
===> abq<a1+q
因為a>=b,所以有q>=1,於是:a1+q<=a1+1
所以有:abq<a1+q<=a2
即:

amodb<a2,每迭代一輪,a,b都會變成原來的一半!
因為演算法的終止條件是a或b被處理為0為止。
於是複雜度為:min(O(loga),O(logb)) 即O(logn)

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