一、概述

1、定義：規劃中變數部分或全部定義成整數是，稱為整數規劃。

2、分類：純整數規劃和混合整數規劃。

3、特點：

（1）原線性規劃有最優解，當自變數限制為整數後：

       a、原最優解全是整數，那最優解仍成立

       b、整數規劃沒有可行解

       c、有可行解，但是不是原最優解

4、求解方法分類

（1）分支定界法

（2）割平面法

（3）隱列舉法

（4）匈牙利法

（5）蒙特卡洛法

二、分支定界法

1、演算法如下（求解整數規劃最大化問題）

MATLAB實現

function r=checkint(x)
%判斷x(i)是不是整數了。是的話r(i)返回1，不是的話，返回0

%輸入引數：x   X向量
%輸出引數：r   R向量

 
for i=1:length(x)
    if(min(abs(x(i)-floor(x(i))),abs(x(i)-ceil(x(i))))<1e-3)
        r(i)=1;
    else
        r(i)=0;
    end
end

function val=isrowinmat(arow,mat)
%用來判斷mat中是否包含與arow一樣的向量

%輸入變數：arow    向量
%         mat     矩陣
%輸出變數：val     1表示有，0表示沒有
val=0;
rows=size(mat,1);
for i=1:rows
    temp=(mat(i,:)==arow);
    
 
if length(find(temp==0))==0
        val=1;
        return;
    else
        val=0;
    end; 
end

function [x,fval,exitflag,output,lambda]=linprogdis(ifint,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)
% 用法
%    [x,fval,exitflag,output,lambda]=lpint(ifint.f,A,b,Aeq,beq)
%    [x,fval,exitflag,output,lambda]=lpint(ifint,f,A,b,Aeq,beq,lb)
 
%    [x,fval,exitflag,output,lambda]=lpint(ifint,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
%    [x,fval,exitflag,output,lambda]=lpint(ifint,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)
%    [x,fval,exitflag,output,lambda]=lpint(ifint,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)

if nargin<10, options=[];  end
if nargin<9,  x0=[];       end
if nargin<8,  ub=inf*ones(size(f));      end
if nargin<7,  lb=zeros(size(f));      end

[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options);

if exitflag<=0        %表示線性規劃沒有最優解
    return 
end

v1=find(ifint==1);  %找到需要整數規劃的變數的下標

temp=x(v1);%如果不是要求整數規劃的就可以返回了。
if isempty(temp)
    return
end

v2=find(checkint(temp)==0);
if isempty(v2)   %都是整數，得到最眾解
    return
end

k=v1(v2(1));

temp1=zeros(1,length(f));
temp1(k)=1;
low=floor(x(k));
if isrowinmat([temp1,low],[A,b])==1
    thisA=A;
    thisb=b;
else
    thisA=[A;temp1];
    thisb=b;
    thisb(end+1)=low;
end

[x1,fval1,exitflag1,output1,lambda1]=linprogdis(ifint,f,thisA,thisb,Aeq,beq,lb,ub,x0,options);


temp2=zeros(1,length(f));
temp2(k)=-1;
high=-ceil(x(k));
if isrowinmat([temp2,high],[A,b])==1
    thisA=A;
    thisb=b;
else
    thisA=[A;temp2];
    thisb=b;
    thisb(end+1)=high;
end

[x2,fval2,exitflag2,output2,lambda2]=linprogdis(ifint,f,thisA,thisb,Aeq,beq,lb,ub,x0,options);

if (isempty(v2) && ((exitflag1>0 && exitflag2<=0 && fval<=fval)||(exitflag2>0 && exitflag1<=0 && fval<=fval2)||(exitflag1>0 && exitflag2>0 && fval<=fval1 && fval<=fval2)))
    disp('error call');
    return ; %表示都是整數
end

if exitflag1>0&&exitflag2<=0
     x=x1;
     fval=fval1;
     exitflag=exitflag1;
     output=output1;
     lambda=lambda1;
elseif exitflag1<=0&&exitflag2>0
     x=x2;
     fval=fval2;
     exitflag=exitflag2;
     output=output2;
     lambda=lambda2;
elseif exitflag1>0 && exitflag2>0
    if fval1<fval2
        x=x1;
        fval=fval1;
        exitflag=exitflag1;
        output=output1;
        lambda=lambda1;
    else
         x=x2;
         fval=fval2;
         exitflag=exitflag2;
         output=output2;
         lambda=lambda2;
    end
end

三、0-1型整數規劃

1、定義：就是變數的取值只能是0-1，這樣的話，其實我們可以將不同的整數規劃轉化成0-1規劃。

2、實際問題：

       這裡我們就可以直接列出一個是0-1規劃的方程，設的變數xi，“1”表示被選中，“0”表示沒被選中

3、相互排斥的約束條件可以轉化成同類型的。

四、求解整數規劃的3種方法

（1）窮舉法，這種比較土= =，但是最有效，而且某些情況只能窮舉。

（2）過渡隱列舉法

a、先試探性求一個可行解X（隨便帶入求值）

b、然後根據是求極大值還是極小值，如果是求極大值，那麼凡是目標值<X的解不必檢驗是否滿足約束條件即可刪除，如果是求極小值，那麼凡是目標值>X不必檢驗是否滿足約束條件就可滿足。

c、改進新的過濾條件

d、然後驗證目標值，最終求得。

PS：怎麼說呢，這個方法就是一種變相的窮舉，如果運氣不好，就會變成全部都窮舉，但是因為是先比較目標值，所以可以減少計算量，因而還是有效的（但是要注意不要犯反覆測驗的錯誤）、

（3）蒙特卡洛法（隨機抽樣法）

就是選擇不窮舉全部點，而是採用隨機的方式來抽取樣本估計整體，如果樣本足夠大，可信度是很大的。

例如求解此題：

MATLAB程式設計求解：

function [ f,g ] = mengte( x )
%MENGTE 鍵入整數線性規劃的目標函式和約束條件
%   f：指的是目標函式      向量
%   g：指的是約束條件      向量


f=x(1)^2+x(2)^2+3*x(3)^2+4*x(4)^2+2*x(5)^2-8*x(1)-2*x(2)-3*x(3)-x(4)-2*x(5);

g=[sum(x)-400
   x(1)+2*x(2)+2*x(3)+x(4)+6*x(5)-800
   2*x(1)+x(2)+6*x(3)-200
   x(3)+x(4)+5*x(5)-200];

end

rand('state',sum(clock));
p0=0;
tic
for i=1:10^6
    x=99*rand(5,1);
    x1=floor(x);x2=ceil(x);
    [f,g]=mengte(x1);
    if  sum(g<=0)==4
        if  p0<=f
            x0=x1;p0=f;
        end
    end
    [f,g]=mengte(x2);
    if  sum(g<=0)==4
        if  p0<=f
            x0=x2;p0=f;
        end
    end
end
    x0,p0

五、0-1整數規劃的求解

例如求解這個指派問題。

由於MATLAB裡面有封裝好的函式- -，我就不用C++再寫了。。不過這個問題還是很容易寫出來的，一些比賽題目也會出現的。

c=[3,8,2,10,3;
    8,7,2,9,7;
    6,4,2,7,5;
    8,4,2,3,5;
    9,10,6,9,10]


c=c(:);%就是變成列向量（提取矩陣的方法）
a=zeros(10,25);
for i=1:5
    a(i,(i-1)*5+1:1:5*i)=1;
    a(5+i,i:5:25)=1;
end
b=ones(10,1);
[x,y]=bintprog(c,[],[],a,b);
x=reshape(x,[5,5]),y