1、問題

例如兩個字串 FAMILY 和 FRAME ,有兩種

對齊方式:

1)、

F_A MIL Y

FRAME

2）、

_FAMILY

FRAME

怎麼找到兩個字串 x [1 ,...,m ] 和 y [1 ,...,n ] 的編輯距離

2、分析

假設已經知道 d [ i ][ j ] 是 X i ={ x 1 ,x 2 ,x 3 ,...,x i } 和 Y j ={ y 1 ,y 2 ,y 3 ,...,y j } 的編輯距離，分3種情況

1）

x1,  x2,  x3,  x4, x(i - 1),  x(i)

y1,  y2,  y3, y4, y(j - 1),  _

推出

d [ i ][ j ]= d [ i −1][ j ]+1

2）

x1,  x2,  x3,  x4, x(i - 1),  x(i)

y1,  y2,  y3, y4, y(j - 1),  _

推出

d [ i ][ j ]= d [ i ][ j −1]+1

3）

x1,  x2,  x3,  x4, x(i - 1),  x(i)

y1,  y2,  y3, y4, y(j - 1),  y(j)

如果x(i) == y(j)推出d [ i ][ j ]= d [ i - 1 ][ j −1] +0,這裡假設diff(i, j) = 0

否則推出d [ i ][ j ]= d [ i - 1 ][ j −1] + 1，這裡假設diff(i, j) = 1

所以

d [ i ][ j ] = min{ d [ i − 1][ j ] + 1, d [ i ][ j − 1] + 1, d [ i − 1][ j − 1] + diff ( i , j )}

然後我們構建一個二維陣列，初始化第一行和第一列按序號增大，為什麼是按照序號增大，比如i=1,j等於1的時候，我們需要操作一步，如果j=2的時候，我們需要操作2步，以此類推，而不是都賦值為0，如下圖

3、程式碼實現

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

#define LEN 1024

char s1[LEN], s2[LEN];
int data[LEN][LEN];

//比較大小的函式
int min(int a, int b)
{
	return a > b ? b : a;	
}

//求最小編輯的函式
int editDistance(char *s1, char *s2, int len1, int len2)
{
	for (int i = 1; i <= len1; ++i)
	{
		for (int j = 1; j <= len2; ++j) 
		{
			int temp = min(data[i][j - 1] + 1, data[i - 1][j] + 1);
			//這裡不是data[i - 1][j - 1] == data[j][j];
			if (s1[i] == s2[j])
			{
				//這裡不是temp = min(temp, data[i - 1][j - 1]);
				data[i][j] = min(temp, data[i - 1][j - 1]);
			}
			else 
			{
				//這裡不是temp = min(temp, data[i - 1][j - 1] + 1);
				data[i][j] = min(temp, data[i - 1][j - 1] + 1);
			}
		}
	}
	return data[len1][len2];
}


int main()
{
	std::cout << "請輸入2個字串" << std::endl;
	std::cin >> s1;
	std::cin >> s2;
	int len1 = strlen(s1);
	int len2 = strlen(s2);
	//初始化第一列
	for (int i = 0; i <= len1; ++i) 
	{
		data[i][0] = i;	
	}
	//初始化第一行
	for (int j = 0; j <= len2; ++j)
	{
		data[0][j] = j;	
	}
	int editDis = editDistance(s1, s2, len1, len2);
	std::cout << "最小的編輯距離是" << editDis << std::endl;
	return 0;	
}
 

4、執行結果

請輸入2個字串
family
frame
最小的編輯距離是4

5、總結

一般求最少的問題，最長的問題，我們一般看到最的問題就要想到動態規劃，然後找到遞推關係式

d [ i ][ j ] = min{ d [ i − 1][ j ] + 1, d [ i ][ j − 1] + 1, d [ i − 1][ j − 1] + diff ( i , j )}

這裡的時間複雜度和空間複雜度都是O(n* m),n是字串1的長度，m是字串2的長度。