題目描述

輸入一個字串，打印出該字串中字元的所有排列。

例如輸入字串abc，則輸出由字元a、b、c 所能排列出來的所有字串

abc、acb、bac、bca、cab 和 cba。

分析與解法

解法一、遞迴實現

從集合中依次選出每一個元素，作為排列的第一個元素，然後對剩餘的元素進行全排列，如此遞迴處理，從而得到所有元素的全排列。以對字串abc進行全排列為例，我們可以這麼做：以abc為例

• 固定a，求後面bc的排列：abc，acb，求好後，a和b交換，得到bac
• 固定b，求後面ac的排列：bac，bca，求好後，c放到第一位置，得到cba
• 固定c，求後面ba的排列：cba，cab。

程式碼可如下編寫所示：

void
 
 CalcAllPermutation(char* perm, int from, int to)
{
    if (to <= 1)
    {
        return;
    }

    if (from == to)
    {
        for (int i = 0; i <= to; i++)
            cout << perm[i];
        cout << endl;
    }
    else
    {
        for (int j = from; j <= to; j++)
        {
            swap(perm[j], perm[from]);
            CalcAllPermutation(perm, from + 1
 
, to);
            swap(perm[j], perm[from]);
        }
    }
}

解法二、字典序排列

首先，咱們得清楚什麼是字典序。根據維基百科的定義：給定兩個偏序集A和B,(a,b)和(a′,b′)屬於笛卡爾集 A × B，則字典序定義為

(a,b) ≤ (a′,b′) 當且僅當 a < a′ 或 (a = a′ 且 b ≤ b′)。

所以給定兩個字串，逐個字元比較，那麼先出現較小字元的那個串字典順序小，如果字元一直相等，較短的串字典順序小。例如：abc < abcd < abde < afab。

那有沒有這樣的演算法，使得

• 起點： 字典序最小的排列, 1-n , 例如12345
• 終點： 字典序最大的排列，n-1, 例如54321
• 過程： 從當前排列生成字典序剛好比它大的下一個排列

答案是肯定的：有，即是STL中的next_permutation演算法。

在瞭解next_permutation演算法是怎麼一個過程之前，咱們得先來分析下“下一個排列”的性質。

• 假定現有字串(A)x(B)，它的下一個排列是：(A)y(B’)，其中A、B和B’是“字串”(可能為空），x和y是“字元”，字首相同，都是A，且一定有y > x。
• 那麼，為使下一個排列字典順序儘可能小，必有：
  • A儘可能長
  • y儘可能小
  • B’裡的字元按由小到大遞增排列

現在的問題是：找到x和y。怎麼找到呢？咱們來看一個例子。

比如說，現在我們要找21543的下一個排列，我們可以從左至右逐個掃描每個數，看哪個能增大（至於如何判定能增大，是根據如果一個數右面有比它大的數存在，那麼這個數就能增大），我們可以看到最後一個能增大的數是：x = 1。

而1應該增大到多少？1能增大到它右面比它大的那一系列數中最小的那個數，即：y = 3，故此時21543的下一個排列應該變為23xxx，顯然 xxx(對應之前的B’）應由小到大排，於是我們最終找到比“21543”大，但字典順序儘量小的23145，找到的23145剛好比21543大。

由這個例子可以得出next_permutation演算法流程為：

next_permutation演算法

• 定義

  • 升序：相鄰兩個位置ai < ai+1，ai 稱作該升序的首位

• 步驟（二找、一交換、一翻轉）

  • 找到排列中最後（最右）一個升序的首位位置i，x = ai
  • 找到排列中第i位右邊最後一個比ai 大的位置j，y = aj
  • 交換x，y
  • 把第(i+ 1)位到最後的部分翻轉

還是拿上面的21543舉例，那麼，應用next_permutation演算法的過程如下：

• x = 1；
• y = 3
• 1和3交換
  • 得23541
• 翻轉541
  • 得23145

23145即為所求的21543的下一個排列。參考實現程式碼如下：

bool CalcAllPermutation(char* perm, int num){
    int i;

    //①找到排列中最後（最右）一個升序的首位位置i，x = ai
    for (i = num - 2; (i >= 0) && (perm[i] >= perm[i + 1]); --i){
        ;
    }
    // 已經找到所有排列
    if (i < 0){
        return false;
    }

    int k;
    //②找到排列中第i位右邊最後一個比ai 大的位置j，y = aj
    for (k = num - 1; (k > i) && (perm[k] <= perm[i]); --k){
        ;
    }

    //③交換x，y
    swap(perm[i], perm[k]);
    //④把第(i+ 1)位到最後的部分翻轉
    reverse(perm + i + 1, perm + num);
    return true;
}

然後在主函式裡迴圈判斷和呼叫calcAllPermutation函式輸出全排列即可。

解法總結

由於全排列總共有n!種排列情況，所以不論解法一中的遞迴方法，還是上述解法二的字典序排列方法，這兩種方法的時間複雜度都為O(n!)。

類似問題

1、已知字串裡的字元是互不相同的，現在任意組合，比如ab，則輸出aa，ab，ba，bb，程式設計按照字典序輸出所有的組合。

分析：非簡單的全排列問題（跟全排列的形式不同,abc全排列的話，只有6個不同的輸出）。 本題可用遞迴的思想，設定一個變量表示已輸出的個數，然後當個數達到字串長度時，就輸出。

//[email protected] 一直很安靜 && World Gao
//假設str已經有序
void perm(char* result, char *str, int size, int resPos)
{
  if(resPos == size)
    printf("%s\n", result);
  else
    {
      for(int i = 0; i < size; ++i)
        {
          result[resPos] = str[i];
          perm(result, str, size, resPos + 1);
        }
    }
}

2、如果不是求字元的所有排列，而是求字元的所有組合，應該怎麼辦呢？當輸入的字串中含有相同的字串時，相同的字元交換位置是不同的排列，但是同一個組合。舉個例子，如果輸入abc，它的組合有a、b、c、ab、ac、bc、abc。

3、寫一個程式，打印出以下的序列。

(a),(b),(c),(d),(e)........(z)

(a,b),(a,c),(a,d),(a,e)......(a,z),(b,c),(b,d).....(b,z),(c,d).....(y,z)

(a,b,c),(a,b,d)....(a,b,z),(a,c,d)....(x,y,z)

....

(a,b,c,d,.....x,y,z)