自然對數的底

阿新 • • 發佈：2019-01-18

簡單的說，e就是增長的極限。

寫了兩段發現舉例子部份各種公式要貼圖實在是太瑣碎了。強烈要求知乎加強編輯器的功能！！

投降了..還是把果殼的文章搬過來吧..
http://www.guokr.com/article/50264/

假定有一種單細胞生物，它每過24小時分裂一次。
那麼很顯然，這種生物的數量，每天都會翻一倍。今天是1個，明天就是2個，後天就是4個。我們可以寫出一個增長數量的公式：

上式中的x就表示天數。這種生物在x天的總數，就是2的x次方。這個式子可以被改成下面這樣：

其中，1表示原有數量，100%表示單位時間內的增長率。

我們繼續假定：每過12個小時，也就是分裂進行到一半的時候，新產生的那半個細胞已經可以再次分裂了。
因此，一天24個小時可以分成兩個階段，每一個階段都在前一個階段的基礎上增長50%。

當這一天結束的時候，我們一共得到了2.25個細胞。其中，1個是原有的，1個是新生的，另外的0.25個是新生細胞分裂到一半的。
如果我們繼續修改假設，這種細胞每過8小時就具備獨立分裂的能力，也就是將1天分成3個階段。

那麼，最後我們就可以得到大約2.37個細胞。
很自然地，如果我們進一步設想，這種分裂是連續不斷進行的，新生細胞每分每秒都具備繼續分裂的能力，那麼一天最多可以得到多少個細胞呢？

當n趨向無限時，這個式子的極值等於2.718281828...。

因此，當增長率為100%保持不變時，我們在單位時間內最多隻能得到2.71828個細胞。數學家把這個數就稱為e，它的含義是單位時間內，持續的翻倍增長所能達到的極限值。

這個值是自然增長的極限，因此以e為底的對數，就叫做自然對數。

原文：http://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/

翻譯講解：阮一峰

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