《演算法導論》習題解答 Chapter 22.1-5(求平方圖)
一、鄰接矩陣實現
思路:如果是鄰接矩陣儲存,設鄰接矩陣為A,則A*A即為平方圖,只需要矩陣相乘即可;
虛擬碼:
for i=1 to n
for j=1 to n
for k=1 to n
result[i][j]+=matrix[i][k]*matrix[k][j];
演算法複雜度
兩個n維陣列相乘,因此複雜度為O(V^3),當然可以通過Strassen演算法稍加改進.
擴充套件:這種方法的作用是比如求u到v路徑長度為k的路徑數目,只需要求A^k,然後[u][v]即可。
演算法正確性分析
命題:給定兩點i,j,i,j路徑長度為r的路徑數目等於A^r[i][j].
數學歸納法證明,
當n=1時,A[i][j]表示i到j的路徑長度為1的路徑數目。
假設n=k時,i,j路徑長度為k的路徑數目等於A^k[i][j]成立,則當n=k+1時,A^k+1 = A^k *A
因此A^k+1[i][j]=A^k[i][1]*A[1][j]+A^k[i][2]*A[2][j]+.....+A^k[i][|V|]*A[|V|][j]
因此成立。
輸入:
4 3
a b
b c
c d
原始碼:
package C22; public class C1_5 { public static void main(String[] args) throws Exception { Adjacent_Matrix adj_matrix = GraphFactory.getAdjacentMatrixInstance("input\\22.1-5.txt"); int[][]result = getSquareGraph(adj_matrix); print(result); } public static int[][] getSquareGraph(Adjacent_Matrix g){ int[][] matrix = g.getMatrix(); int result[][] = new int[matrix.length][matrix.length]; for(int i=0;i<matrix.length;i++){ for(int j=0;j<matrix.length;j++){ for(int k=0;k<matrix.length;k++){ result[i][j] += matrix[i][k]*matrix[k][j]; } } } return result; } public static void print(int[][] arr){ for(int i=0;i<arr.length;i++){ for(int j=0;j<arr.length;j++) System.out.print(arr[i][j]+" "); System.out.println(); } System.out.println(); } }
二、鄰接表實現
虛擬碼:
for u=1 to |V|
for each v 屬於 Adj[u]
Adj1[u].insertAll(Adj[v]);
對G'去除重邊; //O(E^2)
複雜度:
1~3行的複雜度為O(V+E)
4行的複雜度為O(E^2),因為最多能夠生成O(E^2)條邊。
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