演算法導論-----最長公共子序列LCS（動態規劃）

一.概念梳理

1. 子序列(subsequence)：一個特定序列的子序列就是將給定序列中零個或多個元素去掉後得到的結果(不改變元素間相對次序)。例如序列<A,B,C,B,D,A,B>的子序列有：<A,B>、<B,C,A>、<A,B,C,D,A>等。
2.公共子序列(common subsequence)：給定序列X和Y，序列Z是X的子序列，也是Y的子序列，則Z是X和Y的公共子序列。例如X=<A,B,C,B,D,A,B>，Y=<B,D,C,A,B,A>，那麼序列Z=<B,C,A>

為X和Y的公共子序列，其長度為3。但Z不是X和Y的最長公共子序列，而序列<B,C,B,A>和<B,D,A,B>也均為X和Y的最長公共子序列，長度為4，而X和Y不存在長度大於等於5的公共子序列。
3.最長公共子序列問題(LCS:longest-common-subsequence problem)：In the longest-common-subsequence problem, we are given two sequences X=<x1,x2,...,xm> and Y=<y1,y2,...,yn> and wish to find a (not “the”)

maximum-length common subsequence of X and Y . This section shows how to efficiently solve the LCS problem using dynamic programming.

二.最長公共子序列解決方案

方案1：蠻力搜尋策略

蠻力搜尋策略的步驟如下：

列舉序列X裡的每一個子序列xi；
檢查子序列xi是否也是Y序列裡的子序列；
在每一步記錄當前找到的子序列裡面的最長的子序列。

蠻力策略也叫做暴力窮舉法，是所有演算法中最直觀的方法，但效率往往也是最差的。在第1步列舉X中所有的子序列有2

m個，每個子序列在Y中檢查時間複雜度為O(n)。因此蠻力策略的最壞時間複雜度為O(n2m)，這是指數級演算法，對較長的序列求LCS是不適用的。

方案2：動態規劃策略

LCS問題具有最優子結構
令 X=<x1,x2,...,xm> 和 Y=<y1,y2,...,yn> 為兩個序列，Z=<z1,z2,z3,...,zk>為X和Y的任意LCS。則

如果xm=yn，則zk=xm=yn且Zk−1是Xm−1和Yn−1的一個LCS。
如果xm≠yn，那麼zk≠xm，意味著Z是Xm−1和Y的一個LCS。
如果xm≠yn，那麼zk≠yn，意味著Z是X和Y

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