遞推演算法

遞迴演算法大致包括兩方面的內容：1）遞迴起點 ； 2）遞迴關係

遞推起點

遞迴起點一般由題目或者實際情況確定，不由遞迴關係推出。如果無法確定遞迴起點，那麼遞迴演算法就無法實現。可見，遞迴起點是遞迴演算法中的重要一筆。

遞推關係

遞迴關係是遞迴演算法的核心。常見的遞迴關係有以下幾項：

• 1）一階遞推；
• 2）多階遞推；
• 3）間接遞推；
• 4）逆向遞推；
• 5）多維遞推。

下面通過栗子來詳細介紹一下上述類別的遞推關係。

1. 一階遞推
在計算f(i)時，只用到前面項中的一項，如等差數列。公差為3的等差數列，其遞推關係為：

f(i)=f(i-1)+3

eg. 平面上10條直線最多能把平面分成幾部分？
分析：以直線數目為遞推變數，假定i條直線把平面最多分成f(i)部分，則f(i-1)表示i-1條直線把平面分成的最多部分。在i-1條直線的平面上增加直線i，易得i與平面上已經存在了的i-1條直線最多各有一個交點，即直線i最多被分成i段，而這i段將會依次將平面一分為二，即直線i將最多使平面多增加i部分。所以，遞推關係可表示為：f(i)=f(i-1)+i
易得當0條直線時，平面為1部分。所以f(0)=1為遞推起點。
上述分析可用下面程式碼表示（c++）：

#define MAX 100
int f[MAX] //存放f（i）
int lines(int n){
//輸入n為直線數目
//輸出最多部分數
    int i;
    f(0)=1;
    for(i=1;i<=n;i++){
          f[i]=f[i-1]+3;
    }
    return f[i];
    }

2. 多階遞推
在計算f(i)時，要用到前面計算過的多項，如Fibonacci數列。
eg.求Fibonacci的第10項。
分析：總所周知，Fibonacci數列中的第n項等於第n-1項加上n-2項。所以遞推關係為
f(i)=f(i-1)+f(i-2);且f[0]=f[1]=1。
C++程式碼如下：

#define MAX 100
int f[MAX];
int fib(int n){
//輸入n為項數
//輸出第n個fib數
   int i;
   f[0]=0;
   f[1]=1;
   for(i=2;i<=n;i++){
         f[i]=f[i-1]+f[i-2];
         }
   return f[n]
   }

3. 間接遞推
在計算f[i]時需要中間量，而計算中間量要用到之前計算過的項。
eg.現有四個人做傳球遊戲，要求接球后馬上傳給別人。由甲先傳，並作為第一次傳球。求經過10次傳球，球仍回到發球人甲手中的傳球方式的種數。
分析：定義兩個狀態，1)當前球在甲上，經過i次傳球之後球仍在甲上，此狀況記為F，其傳球方式的種數為f(i)；2）當前球不在甲手上，經過i次傳球之後球在甲手上，此狀態記為G，其傳球方式的種數為g（i）。
對於狀態1）：甲傳出一個球之後，接球的人的狀態便變成G(i-1）了，由於甲可以傳給3個不同的人，所以f(i)=3g(i-1);
對於狀態2）：持球者可以選擇把球傳給甲，此時是F(i-1）狀態；也可以把球傳給另外兩個人，即2

#define MAX 100
int f[MAX];
int g[MAX];
int ball(int n){
//輸入n為傳球次數
//輸出為傳球方式的種數
    int i;
    f[1]=0;
    g[1]=0;
    for(i=2;i<=n;i++){
        f[i]=3*g[i-1];
        g[i]=f[i-1]+2*g[i-1];
        }
    return f[n];
    }

4. 逆向遞推
顧名思義，就是從後面開始往前推。
eg.硬幣下棋遊戲。棋盤上標有第0站，第1站...第100站，一開始棋子在第0站，棋手每次投一次硬幣，若硬幣正面向上，則往前跳兩站；否則，往前跳一站...直到棋子跳到第99站（勝利大本營），第100站（失敗大本營）時，遊戲結束。如果硬幣出現正反面的概率均為0.5，分別求出棋子到達勝利大本營和失敗大本營的概率。
分析：假設記從第i站開始，最後到達100站的概率為f(i)。而從第i站，投擲一次硬幣，有0.5的概率到達第i+1站，有0.5的概率到達i+2站。所以遞推關係為：f(i)=0.5f(i+1)+0.5f(i+2).
易得遞推起點f(100)=1,f(99)=0.因為到達99站，遊戲結束。
上述就是逆遞推的一個過程。c++實現如下：

#define MAX 100
double f[MAX];
double prob(){
//無輸入
//輸出為到達100站的概率
    int i;
    f[100]=1.0;
    f[99]=0;
    for(i=98;i.=0;i--){
        f[i]=0.5*f[i+1]+0.5*f[i+2];
        }
    return f[0];
    }

5. 多維遞推
元素處於一個多維矩陣中，遞推需要使用矩陣中其他位置的元素。
例子日後更新。

遞迴函式

在電腦科學中，如果一個函式的實現中，出現對函式自身的呼叫語句，則該函式稱為遞迴函式。
遞推演算法可以用遞迴函式來實現。一般來說迴圈遞推演算法比遞迴函式要快，但遞迴函式的可讀性更棒。
把上面的部分遞推演算法改寫成遞迴函式。
1）平面劃分

int lines(int i){
    if(i<=0)
        return 1;
    else
        return lines(i-1)+i;
        }

2)Fibonacci數

int fib(int i){
   if(i==0)
        return 0;
    if(i==1)
        return 1;
    else
        return fib(i-1)+fib(i-2);
    }

由上面的程式碼可以分析到，遞推起點在遞迴函式中起到了遞迴截止作用。

遞迴函式的執行過程

遞迴函式每次呼叫自身都會生成一個啟用幀（包含程式的引數、區域性變數、返回值、以及該程式執行完畢後返回上一層的指令地址等），同時把計算控制交給下一次呼叫。這些啟用幀存在在系統中先進後出的棧裡。所以，程式的遞迴呼叫過大的話，會引發棧溢位。

尾遞迴

在計算機科學裡，尾呼叫是指一個函式裡的最後一個動作是一個函式呼叫的情形：即這個呼叫的返回值直接被當前函式返回的情形。

上面說到遞迴函式需要在呼叫多次時需要保留很多啟用幀，這會引發棧溢位。但如果採用尾遞迴的話，就可以避免這個情況。因為尾遞迴在程式的最後動作只是呼叫函式，不涉及其他計算問題，所以可以優化刪去很多中間的啟用幀。
如上面遞迴函式fib（），其最後一步就涉及加法，所以不是尾遞迴，但可以把它改成尾遞迴。如下：

int fib(int n,int f1,int f2)
{
//初始f1=0;f2=1
    if(n==0)
        return f1;
    else
        return fib(n-1,f2,f1+f2)
    }

由上面程式碼可看到，函式的最後呼叫就是一個函式，不涉及其他計算。

小結

遞迴函式一定要有遞迴起點作為遞迴結束標誌。