前言

每次看了很快就忘了，乾脆寫一篇部落格，來加深記憶。

定義

設

f(a,b,c,n)=∑i=0n⌊ai+bc⌋
g(a,b,c,n)=∑i=0ni⌊ai+bc⌋
g(a,b,c,n)=∑i=0n⌊ai+bc⌋2
m=⌊an+bc⌋

一、f(a,b,c,n)

當a>=c時，=f(a%c,b,c,n)+⌊ac⌋∗n(n+1)/2
當b>=c時，=f(a,b%c,c,n)+⌊bc⌋∗(n+1)
然後

=∑i=0n⌊ai+bc⌋
我們將ai+bc當作一條以i為自變數的直線，

於是原式就等於這個直角梯形內的整點個數，
=∑i=0n∑j=1m[⌊ai+bc⌋>=

j]
=∑i=0n∑j=0m−1[⌊ai+bc⌋>=j+1]
=∑i=0n∑j=0m−1[ai+b>=jc+c]
=∑i=0n∑j=0m−1[ai+b>jc+c−1]
=∑i=0n∑j=0m−1[ai>jc+c−b−1]
=∑i=0n∑j=0m−1[i>⌊jc+c−b−1a⌋]
=∑j=0m−1∑i=0n[i>⌊jc+c−b−1a⌋]
=∑j=0m−1(n−∑i=0n

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