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一種遞推組合數字首和的Trick

阿新 • • 發佈：2019-01-18
記錄一下一種推組合數字首和的方法 ## Trick 設$\sum_{i = 0}^m C_n^i = S(n, m)$ $S$是可以遞推的 - $S(n, m + 1) = S(n, m) + C_{n}^{m + 1}$ 就是加上最末尾的一項 - $S(n + 1, m) = 2S(n, m) - C_n^m$ $S(n, m)$可以看做是楊輝三角上的一行，而$S(n+1, m)$是他的下一行 考慮組合數的遞推公式，除了$C[n][m]$這一項之外都會被計算兩次、 另外如果有多組詢問的話可以用莫隊實現 ```cpp #include using namespace std; int N, M, Lim, C[1001][1001], S[1001][1001]; int Make1() { for(int i = 0; i <= Lim; i++) { C[i][0] = C[i][i] = 1; for(int j = 1; j < i; j++) C[i][j] = C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j]; } return C[N][M]; } void Make2() { /*for(int i = 0; i <= Lim; i++) { S[i][0] = 1; for(int j = 1; j <= i; j++) S[i][j] = S[i][j - 1] + C[i][j]; }*/ for(int i = 0, base = 1; i <= Lim; i++, base <<= 1) { S[i][i] = base; for(int j = i + 1; j <= Lim; j++) S[j][i] = 2 * S[j - 1][i] - C[j - 1][i]; } } void print(int (*a)[1001]) { for(int i = 0; i <= Lim; i++, puts("")) { for(int j = 0; j <= i; j++) printf("%d ", S[i][j]); } } main() { Lim = 10; //cin >> N >> M; Make1(); Make2(); print(S); } ```

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