今天要討論的問題是解方程，其中是奇質數。

引理：

證明：由費馬小定理，

引理：方程有解當且僅當

定理：設滿足不是模的二次剩餘，即無解，那麼是二次

     剩餘方程的解。

證明：由，前面的等號用二項式定理和，後面的等

     號用了費馬小定理和是模的二次非剩餘。然後

在演算法實現的時候，對的選擇可以隨機，因為大約有一半數是模的二次非剩餘，然後快速冪即可。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

inline char nc(){
  static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
  if (p1==p2) { p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin); if (p1==p2) return EOF; }
  return *p1++;
}

inline void read(ll &x){
  char c=nc(),b=1;
  for (;!(c>='0' && c<='9');c=nc()) if (c=='-') b=-1;
  for (x=0;c>='0' && c<='9';x=x*10+c-'0',c=nc()); x*=b;
}

ll P;

inline ll Pow(ll a,ll b){
  ll ret=1;
  for (;b;b>>=1,a=a*a%P)
    if (b&1)
      ret=ret*a%P;
  return ret;
}

inline ll legendre(ll a){
  return Pow(a,(P-1)>>1);
}

struct abcd{
  ll a,b,w; //a+b*sqrt(w)
  abcd(ll a=0,ll b=0,ll w=0):a(a),b(b),w(w) { }
  friend abcd operator *(abcd A,abcd B){
    return abcd((A.a*B.a%P+A.b*B.b%P*A.w%P)%P,(A.a*B.b%P+A.b*B.a%P)%P,A.w);
  }
};

inline abcd Pow(abcd a,int b){
  abcd ret=abcd(1,0,a.w);
  for (;b;b>>=1,a=a*a)
    if (b&1)
      ret=ret*a;
  return ret;
}

inline ll Solve(ll n,ll p){
  P=p;
  if (P==2) return 1;
  if (legendre(n)==P-1) return -1;
  ll a,w;
  while (1){
    a=rand()%P;
    w=((a*a-n)%P+P)%P;
    if (legendre(w)==P-1) break;
  }
  return Pow(abcd(a,1,w),(P+1)>>1).a;
}

int main(){
  srand(10086);
  ll n,p,T,ans,a,b;
  freopen("t.in","r",stdin);
  freopen("t.out","w",stdout);
  read(T);
  while (T--){
    read(n); read(p);
    ans=Solve(n,p);
    if (ans==-1)
      printf("No root\n");
    else if (ans==p-ans)
	printf("%lld\n",ans);
    else if (ans<P-ans)
      printf("%lld %lld\n",ans,P-ans);
    else
      printf("%lld %lld\n",P-ans,ans);
  }
  return 0;
}
 

接下來我們來解另一個二次同餘方程的解，其中，並且是奇質數。方法如下

先求出方程的一個解，那麼進一步有

我們知道

那麼也就是說

可以證明和，那麼最終得到

這裡由於不是素數，所以求逆元用擴充套件歐幾里得演算法即可。