什麼叫二次剩餘，其實就是對於給定的p(p∈P)和n，如果有x滿足x2≡n(modp)，那麼n在模p意義下就是二次剩餘。其實就是模意義下能否開根號。

我們先定義Fp，這是一個數域，其實就是0到p−1這p個數與模p意義下加減乘除運算構成的集合。

定理1：對於x2≡n(modp)，總共有p−12個的n能使該方程有解（將n=0情況除去，由於該情況顯然有x=0）。
證明：我們只用考慮所有x2。如果存在不同的兩個數u、v，它們的平方在模p意義下同餘，那麼顯然有p|(u2−v2)。由平方差公式p|(u+v)(u−v)。顯然p不可能整除u−v，因此p整除u+v，因此u+v≡0(modp)。這個結論反過來也是成立的，因此共有p

−12種互不相同的平方，顯然對應了所有有解的n，而且同一個n還一定存在兩個互為相反數的解。

Description:

求解x2≡n(modp)。p 是一個奇質數。

Solution:
由費馬小定理:
             np−1≡1(modp)
所以:
             np−12≡±1(modp)

由尤拉準則:
             (np)≡np−12(modp)
其中:
             (np)為勒讓德符號。

因為x≡n12(modp)，所以有xp−1≡np−12≡1(modp)。即:

             (np)=⎧⎩⎨⎪⎪1

−10n在模p意義下是二次剩餘n在模p意義下不是二次剩餘n≡0(modp)

設:
             k=a2−n,ω=k√

則該方程的解為:
             x≡(a+ω)p+12(modp)

證明：若k是該模意義下的非二次剩餘，
則:
             wp−1=

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