圖解排序演算法(三)之堆排序
預備知識
堆排序
堆排序是利用堆這種資料結構而設計的一種排序演算法,堆排序是一種選擇排序,它的最壞,最好,平均時間複雜度均為O(nlogn),它也是不穩定排序。首先簡單瞭解下堆結構。
堆
堆是具有以下性質的完全二叉樹:每個結點的值都大於或等於其左右孩子結點的值,稱為大頂堆;或者每個結點的值都小於或等於其左右孩子結點的值,稱為小頂堆。如下圖:
同時,我們對堆中的結點按層進行編號,將這種邏輯結構對映到陣列中就是下面這個樣子
該陣列從邏輯上講就是一個堆結構,我們用簡單的公式來描述一下堆的定義就是:
大頂堆:arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]
小頂堆:arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2]
ok,瞭解了這些定義。接下來,我們來看看堆排序的基本思想及基本步驟:
堆排序基本思想及步驟
堆排序的基本思想是:將待排序序列構造成一個大頂堆,此時,整個序列的最大值就是堆頂的根節點。將其與末尾元素進行交換,此時末尾就為最大值。然後將剩餘n-1個元素重新構造成一個堆,這樣會得到n個元素的次小值。如此反覆執行,便能得到一個有序序列了
步驟一 構造初始堆。將給定無序序列構造成一個大頂堆(一般升序採用大頂堆,降序採用小頂堆)。
a.假設給定無序序列結構如下
2.此時我們從最後一個非葉子結點開始(葉結點自然不用調整,第一個非葉子結點 arr.length/2-1=5/2-1=1,也就是下面的6結點),從左至右,從下至上進行調整。
4.找到第二個非葉節點4,由於[4,9,8]中9元素最大,4和9交換。
這時,交換導致了子根[4,5,6]結構混亂,繼續調整,[4,5,6]中6最大,交換4和6。
此時,我們就將一個無需序列構造成了一個大頂堆。
步驟二 將堆頂元素與末尾元素進行交換,使末尾元素最大。然後繼續調整堆,再將堆頂元素與末尾元素交換,得到第二大元素。如此反覆進行交換、重建、交換。
a.將堆頂元素9和末尾元素4進行交換
b.重新調整結構,使其繼續滿足堆定義
c.再將堆頂元素8與末尾元素5進行交換,得到第二大元素8.
後續過程,繼續進行調整,交換,如此反覆進行,最終使得整個序列有序
再簡單總結下堆排序的基本思路:
a.將無需序列構建成一個堆,根據升序降序需求選擇大頂堆或小頂堆;
b.將堆頂元素與末尾元素交換,將最大元素"沉"到陣列末端;
c.重新調整結構,使其滿足堆定義,然後繼續交換堆頂元素與當前末尾元素,反覆執行調整+交換步驟,直到整個序列有序。
程式碼實現
package sortdemo; import java.util.Arrays; /** * Created by chengxiao on 2016/12/17. * 堆排序demo */ public class HeapSort { public static void main(String []args){ int []arr = {9,8,7,6,5,4,3,2,1}; sort(arr); System.out.println(Arrays.toString(arr)); } public static void sort(int []arr){ //1.構建大頂堆 for(int i=arr.length/2-1;i>=0;i--){ //從第一個非葉子結點從下至上,從右至左調整結構 adjustHeap(arr,i,arr.length); } //2.調整堆結構+交換堆頂元素與末尾元素 for(int j=arr.length-1;j>0;j--){ swap(arr,0,j);//將堆頂元素與末尾元素進行交換 adjustHeap(arr,0,j);//重新對堆進行調整 } } /** * 調整大頂堆(僅是調整過程,建立在大頂堆已構建的基礎上) * @param arr * @param i * @param length */ public static void adjustHeap(int []arr,int i,int length){ int temp = arr[i];//先取出當前元素i for(int k=i*2+1;k<length;k=k*2+1){//從i結點的左子結點開始,也就是2i+1處開始 if(k+1<length && arr[k]<arr[k+1]){//如果左子結點小於右子結點,k指向右子結點 k++; } if(arr[k] >temp){//如果子節點大於父節點,將子節點值賦給父節點(不用進行交換) arr[i] = arr[k]; i = k; }else{ break; } } arr[i] = temp;//將temp值放到最終的位置 } /** * 交換元素 * @param arr * @param a * @param b */ public static void swap(int []arr,int a ,int b){ int temp=arr[a]; arr[a] = arr[b]; arr[b] = temp; } }
結果
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
最後
堆排序是一種選擇排序,整體主要由構建初始堆+交換堆頂元素和末尾元素並重建堆兩部分組成。其中構建初始堆經推導複雜度為O(n),在交換並重建堆的過程中,需交換n-1次,而重建堆的過程中,根據完全二叉樹的性質,[log2(n-1),log2(n-2)...1]逐步遞減,近似為nlogn。所以堆排序時間複雜度一般認為就是O(nlogn)級。
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