本文主要講解，何愷明暗通道先驗去霧以及加權最小二乘演算法的原理部分，對應程式碼可在資源處下載。

1暗通道先驗去霧模型

 公式（1）是常用的霧靄形成模型：

                            （1）

其中，I(x)為實際拍攝到的有霧視訊幀，J(x)為去霧後的原視訊幀，A表示全球大氣光成分，先對暗原色的亮度進行排序，從中選出暗原色亮度最大的畫素的0.1%的值，它們對應原圖中所有強度值的最大值即為A；t(x)用來描述太陽光通過媒介投射到攝像機過程中沒有被散射的部分，簡稱透射率圖或介質傳輸率，可表示為(0≤t(x)≤1)。而去霧就是通過I(x)得到J(x)的過程。方程右邊的J(x)t(x)叫做直接衰減項，A(1-t(x))則是大氣光成分，它反映了大氣散射光對成像光強的影響，造成了視訊幀的不同程度模糊和色調的偏移。

何愷明等通過大量統計，發現在自然場景視訊幀中非天空部分的區域性區域裡的某些畫素點，至少有一個顏色通道的值很低以至趨於0。因此進而他提出了暗通道先驗去霧模型，即對任意的自然場景無霧影象J(x)，其暗通道滿足：

                    （2）

其中J(x)是無霧影象在RGB三個顏色通道中的暗原色，相對應的I(x)是某一RGB的單色通道的實際有霧幀，在以為中心的區域性鄰域內，將（2）式帶入（1）式後得

                    （3）

引數w是調整因子，且滿足0<w<1，其值越小，去霧效果越不明顯。新增w是為了針對性的保留視訊幀遙遠景物的霧，A被定義為某一單色通道的大氣光成分。因為戶外自然場景中總是會存在一些雜質，徹底去霧會造成視覺上失真，之後將(3)式求得的透射率圖帶入到(1)式中，即可求得去霧後圖像J(x)

                                    （4）

    暗通道先驗模型通常建立在戶外自然場景基礎上，當取景物件在較大範圍內和天空接近並且沒有陰影覆蓋的時候，視訊幀中的灰白色和空氣顏色接近，暗通道先驗模型會錯誤處理該區域的透射率，造成去霧後的對應區域上亮度降低，從而使得暗通道先驗假設不成立。另外由於含霧影象在某一鄰域內的RGB通道最小值和暗通道先驗求解的結果不匹配，而使暗通道先驗模型去霧造成去霧影象邊緣不平滑。綜上所述，對基於暗通道先驗的去霧演算法而言，獲取合適的透射率圖t(x)和正確的大氣光成分A，是得到無霧視訊的兩個關鍵因素。

2導向濾波和加權最小二乘濾波原理

2.1導向濾波原理

      導向濾波由區域性線性模型發展而來，它作為一種高效且能夠提取方向資訊的濾波器組，任意方向的濾波器可以由一組基濾波器線性累加而成。何愷明首次將之用於影象去霧，針對計算透射率初估計值的過程中出現一定程度的塊效應，提出用導向濾波來細化之前得到的粗略透射率圖。

    導向濾波輸出圖中的任意一個畫素點i可以表示為一個加權平均：

                               （5）

上式中i和j是處理畫素的像平面的橫座標和縱座標，wij(I)是可以作為目標效果的導向影象I和原始影象P。

    在利用導向濾波時，定義核函式為：

                              （6）

    根據上式可以看出，qi和Ii之間是區域性線性關係，其中i為畫素座標，I代表引導影象，q為結果影像，可以認為qi是在大小為wk、以畫素k為中心的視窗內所有畫素的線性變換。此處對應的就是經過優化後的透射率分佈圖，定義價值函式如下：

                     （7）

公式（7）中的E為正則化引數，主要是為了避免係數ak過大。之後採用最小二乘法求解得到係數如下：

                          （8）

                                        （9）

其中uk是含霧影象I在視窗wk中的平均值，是I在視窗wk中的方差，|w|是視窗wk中畫素的數量，pk是待濾波影象p在視窗wk中的平均值。

       在導向濾波器中，濾波半徑的選取對去霧後的效果有一定影響。當濾波半徑較大時，導向濾波圖會更大範圍內進行平行線輸出，使得透射率圖與有霧視訊幀的邊緣特徵更加相似且內容豐富，降低了邊緣不平滑現象。但是濾波半徑過大，會使無霧視訊幀在對應區域出現顏色過飽和或者去霧不足現象。

2.2加權最小二乘濾波原理

       加權最小二乘法濾波能有效的保留視訊幀中的部分邊緣資訊。該演算法無法保留較多的對比度較小的邊緣，也不能一次性完整提取對比度較大的細節，所以需要漸進式提取邊緣。異方差性是相對於同方差而言的，隨機誤差項具有不同的方差，則稱線性迴歸模型存在異方差性，加權最小二乘法在很大程度上解決了異方差性問題，首先用某一權數對樣本觀測值或殘差加權，再使用普通最小二乘法估計引數模型。對於輸入視訊幀g，尋求結果視訊幀u，一方面希望u儘可能接近g，與此同時，u除了在g一些邊緣梯度變化比較大的地方外應該越平滑越好，形式上即尋求式(10)的值最小

              （10）  

      其中下標p為畫素位置。資料項的目的是儘可能縮小u和g的差距,第二項則是用偏導數實現平滑，這和輸入的視訊幀g有很大關係。當g邊緣梯度變換很大時，我們希望其約束小一些，而當g邊緣梯度變換很小時，這些細節資訊可認為不重要，對其約束可以大一些。而ax和ay為平滑權重，一般取值在1.2至2.0之間，主要目的是控制其對梯度的敏感度。負責兩項的值平衡，從而使平滑效果有所不同。在視訊幀中，一維梯度中的運算元在任何位置都是不變的，在此可定義為常量，然後對求二階導數，在使式(10)取得最小值的情況下，可求得結果視訊幀u的最優值。

附上一些去霧效果: