[HDU3544] Alice’s Game

題意：

 給n塊巧克力，第i塊是$n_i*m_i$，Alice只能垂直切，切成$A*m和B*m$,並且$A+B=n$,Bob只能橫切，只能切成$A*n和B*n$，並且$A+B=m$

分析：

語言表達能力有限

我們採取$HP(n,m)$表示$n*m$的矩形對Alice的可切割次數的貢獻,負數代表對Bob的貢獻，如果所有$\sum{HP_i}> 0$ ，Alice必贏，$\sum H$

Pi<=0\sum{HP_i} <= 0，Bob(必贏)
對於HP(i,j) 的計算我們有如下法則
1. $n*1$ 的矩形貢獻為n-1
2. $1*m$ 的矩形貢獻為-(m-1)
3. $2*2,3*3,4*4..n*n$的矩形對HP的貢獻為零，因為如果你首先下手切，都會給對手更多的機會，如果你能贏，你不會切這個，如果你輸，那麼切了這個你還會輸。
4. 對於$2*3,3*2,5*4... ,$的矩陣來說與3的狀況相同，對答案的貢獻都是0，首先下手都會給對手更多的機會
5. 貢獻為零的有什麼規律呢，我們發現原來是它們是 $2^{}$

k<=n<2k+12^k <= n < 2^{k+1}&&$2^k <= m < 2^{k+1}$
6. $n*2$ 的矩形對於Alice來說有貢獻，我們每一次可以選擇都切成$2*2,3*2$的矩形，這樣不會給對手機會，自己還可以增加一次切的機會，Bob也不會傻到切這個矩形，這樣會給Alice更多機會,所以$n*2$的矩形，Alice 可以切 $n\mathrm{/}2-$

1n/2-1 次
這個時候可以總結一下規律：

1. 我們每一次切,都會切成$HP(i,m) = 0,HP(n-i,m) >= 0$的 兩塊，$HP(n,m) = HP(n-i,m)+1$，遞迴下去$HP(n-i-j,m) = HP(n-i-j,m)+1$,直到$HP(n-i-j....,m) = 0$,這怎麼計算呢
2. 我們知道$HP(n,m) = 0$ 當且僅當$2^k <= n < 2^{k+1}$&&$2^k <= m < 2^{k+1}$
3. 那麼就有 $HP(n,m) = n/(2^{k}) - 1$

參考程式碼

初級

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL solve(LL x,LL y)
{
    LL t  = 1;
    while(t*2 <= y)
        t <<= 1;
    return x/t;
}
int main()
{
    int T,n;
    scanf("%d",&T);
    for(int kase = 1; kase <= T; ++kase)
    {
        scanf("%d",&n);
        LL x,y;
        LL sum=0;
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            scanf("%lld%lld",&x,&y);
            if(x > y) sum += solve(x,y)-1;
            else sum -= solve(y,x) -1;
        }
        printf("Case %d: ",kase);
        if(sum > 0) puts("Alice");
        else        puts("Bob");
    }
    return 0;
}

簡化

下面這個版本就是大家在其他部落格上看到的答案了
就是不停的對兩邊除以2，其實原理和$n/2^{k}-1$相同

#include <cstdio>
typedef long long LL;
int main()
{

    int T; scanf("%d", &T);
    for(int kase = 1; kase <= T; kase++)
    {
        int n; scanf("%d", &n);
        LL a = 0, b = 0;
        while(n--)
        {
            int x, y;
            scanf("%d%d", &x, &y);
            while(x > 1 && y > 1) { x >>= 1; y >>= 1; }
            if(y == 1) a += (LL)x - 1;
            if(x == 1) b += (LL)y - 1;
        }
        printf("Case %d: %s\n", kase, a > b ? "Alice" : "Bob");
    }

    return 0;
}